双极圆柱坐标系

双极圆柱坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$  通常定义为

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$  、

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$  、

${\displaystyle z=z}$  ；

其中，点 ${\displaystyle P}$  的 ${\displaystyle \sigma }$  坐标等于 ${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$  的弧度，${\displaystyle \tau }$  坐标等于 ${\displaystyle d_{1}=F_{1}P}$  与 ${\displaystyle d_{2}=F_{2}P}$  的比例的自然对数

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$ 。

注意到焦线 ${\displaystyle F_{1}}$  与 ${\displaystyle F_{2}}$  的坐标分别为 ${\displaystyle x=-a}$  与 ${\displaystyle x=a}$  。

不同 ${\displaystyle \sigma }$  的坐标曲面是一组不同圆心线，而相交于两个焦线 ${\displaystyle L_{1}}$  与 ${\displaystyle L_{2}}$  的圆柱面：

${\displaystyle x^{2}+(y-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$  。

它们的圆心线都包含于 yz-平面。正值 ${\displaystyle \sigma }$  的圆柱面的圆心线都在 ${\displaystyle y>0}$  半空间；而负值 ${\displaystyle \sigma }$  的圆柱面的圆心线则在 ${\displaystyle y<0}$  半空间。当绝对值 ${\displaystyle \left|\sigma \right|}$  增加时，圆半径会减小，圆心线会靠近原点。当圆心线包含原点时，${\displaystyle \left|\sigma \right|}$  达到最大值 ${\displaystyle \pi /2}$  。

不同 ${\displaystyle \tau }$  的坐标曲面是一组围着焦线，互不相交，不同半径的圆柱面。半径为

${\displaystyle y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$  。

它们的圆心线都包含于 xz-平面。正值 ${\displaystyle \tau }$  的圆柱面在 ${\displaystyle x>0}$  半空间；而负值 ${\displaystyle \tau }$  的圆柱面在 ${\displaystyle x<0}$  半空间。 ${\displaystyle \tau =0}$  平面则与 yz-平面同平面。当 ${\displaystyle \tau }$  值增加时，圆柱面的半径会减少，圆心线会靠近焦点。

逆变换

双极圆柱坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$  可以用直角坐标 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$  来表示。点 P 与两个焦线之间的距离是

${\displaystyle d_{1}^{2}=(x+a)^{2}+y^{2}}$  、

${\displaystyle d_{2}^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}}$  。

${\displaystyle \tau }$  是 ${\displaystyle d_{1}}$  与 ${\displaystyle d_{2}}$  的比例的自然对数：

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$  。

${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$  是两条从点 P 到两个焦点的线段 ${\displaystyle {\overline {F_{1}P}}}$  与 ${\displaystyle {\overline {F_{2}P}}}$  的夹角。这夹角的弧度是 ${\displaystyle \sigma }$  。用余弦定理来计算：

${\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}}$  。

z-坐标的公式不变：

${\displaystyle z=z}$  。

双极圆柱坐标 ${\displaystyle \sigma }$  与 ${\displaystyle \tau }$  的标度因子相等；而 ${\displaystyle z}$  的标度因子是 1 ：

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$  、

${\displaystyle h_{z}=1}$  。

所以，无穷小体积元素等于

${\displaystyle dV={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}d\sigma d\tau dz}$  。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$  。

其它微分算子，例如 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$  与 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$  ，都可以用双极圆柱坐标表达，只需要将标度因子代入正交坐标系的一般方程式内。

双极圆柱坐标有一个经典的应用，这是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里，双极圆柱坐标允许分离变数法的使用。一个典型的例题是，有两个互相平行的圆柱导体，请问其周围的电场为什么？应用双极圆柱坐标，我们可以精致地分析这例题。

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 187–190.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. ASIN B0000CKZX7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: unknown. ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link)