对数尺度

对数尺度（英语：logarithmic scale）是一个非线性的测量尺度，用在数量有较大范围的差异时。像里氏地震震级、声学中的音量、光学中的光强度、及溶液的PH值等。

对数尺度方便比较一些大范围的数据，例如地图中的伤亡资料

对数尺度是以数量级为基础，不是一般的线性尺度（英语：linear scale），因此每个刻度之间的商为一定值。

常见用法

以下的数据若有数值较大的资料时，会用到对数尺度：

  • 里氏地震震级及矩震级：研究地震或地球的运动时会用到。
  • 分贝及奈培：在分析音量及电功率时。
  • 音分、小二度、全音及纯八度等有关音乐相对音高的术语。
  • Logit：用在统计学的发生比中。
  • 巴勒莫撞击危险指数。
  • 对数时间线（英语：logarithmic timeline）
  • 摄影中计算曝光量的焦比。
  • 热力学中的熵
  • 信息论中信息
  • 土壤的颗粒尺寸分布曲线
  • 铀和化石燃料能量密度比较

以下的量也是用对数尺度，但较大的数量会对应较低（甚至为负）的值，

  • 表示酸性的pH值。
  • 表示恒星亮度的视星等。
  • 地质学中表示粒径的克伦宾尺度（Krumbein scale）
  • 透光物体的吸光度

人类有些感官有对数的特性（韦伯-费希纳定理），因此这些输入适合用对数尺度表示，特别是听觉会将二组比例相同的频率认为是二组差距相同的音高。特别在隔离的部落中小孩的研究，发现对数尺度是人类很自然的表示方式[1]。

图表中的对数尺度

 
线性-对数、对数-线性、对数–对数。图中有：y = 10 x（红色）, y = x（绿色）, y = loge(x)（蓝色）

左上方的图，X轴和Y轴都是线性的，Y轴从0至10。左下方的图，只有Y轴是用log 10的尺度，因此Y轴从0[note 1]至1000。

右上方的图，只有X轴是用log 10的尺度，右下方的图则是X轴和Y轴都用对数尺度。

若资料有以下特性时，用对数尺度来表示会比较方便：

  • 资料有数量级的差异时，显示对数可以同时显示很大的资料和很小的资料。
  • 资料有指数增长或幂定律的特性时，有对数尺度可以将曲线变为直线表示。

计算尺中就有对数尺度，诺谟图也常用对数尺度表示，二数的几何平均数就是在对数尺度中在二数中间的数。在电脑绘图发明之前，常用有半对数刻度或是全对数刻度的绘图纸（英语：Graph paper）来绘制半对数图或全对数图。

全对数图

 
F(x) = (x−10 )(1020)的全对数图，可以表示为log(F(x)) = −10 log(x) + 20.

若纵坐标及横坐标都是用对数的方式表示，这张图称为全对数图。

半对数图

若只有纵坐标（英语：ordinate）或横坐标（英语：abscissa）用对数的方式表示，这张图称为半对数图或半对数坐标系。

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注解

  1. ^ 严格来说不是0，但在此说明上已相当接近了

参考资料

  1. ^ Slide Rule Sense: Amazonian Indigenous Culture Demonstrates Universal Mapping Of Number Onto Space. ScienceDaily. 2008-05-30 [2008-05-31]. （原始内容存档于2017-08-02）. 

外部链接