给予在源位置
的电荷分布或电流分布,计算在场位置
产生的电势或磁向量势。
在静电学里,设定电荷密度分布 ,则其产生的电势 为
- ;
其中, 是场位置, 是源位置, 是积分的体积区域。
假设体积区域 是在以原点为圆心、半径为 的圆球内部,则在圆球以外,电势 可以多极展开。文献里常见到两种电势的多极展开方法。一种展开为直角坐标 的泰勒级数,称为“笛卡儿多极展开”(Cartesian multipole expansion);另一种是用距离倒数的幂和球谐函数展开,是以球坐标表示,称为“球多极展开”(spherical multipole expansion)。
笛卡儿多极展开
任意函数 在原点 的泰勒级数为
- ;
其中, 是对于 的偏微分。
设定 ,则 对于 的偏微分为
- 、
- ;
其中, 是克罗内克记号。
所以 在原点 的泰勒级数为
- 。
将这展开式代入电势的方程式,则可得到
- 。
总电荷(电单极矩) 、电偶极矩 、电四极矩(
electric quadrupole moment) 分别以方程式定义为[1]
- 、
- 、
- 。
则电势的电单极矩、电偶极矩、电四极矩等等“笛卡儿多极矩”项目的总贡献为
- 。
球多极展开
场位置与源位置之间距离的倒数, ,可以用球谐函数 展开为[1]
- ;
其中, 与 的球坐标分别为 与 。
将这展开式代入电势的方程式,则可得到
- 。
电荷分布的球多极矩 以方程式定义为
- 。
则电势可以以球多极矩表示为
- 。
注意到 。以下列出几个最低阶的球多极矩的表达式,以及与笛卡儿多极矩之间的关系[1]:
- 。
多极展开式的特性
对于多极展开式的每一阶 ,笛卡儿多极展开会得到 个笛卡儿多极矩,而球多极展开会得到 个球多极矩。这是因为两种展开各自具有不同的旋转变换属性。笛卡儿多极矩是可约的(reducible);而球多极矩则是不可约的,这种分解能够得到旋转群的不可约表示。
在多极展开式里,不等于零的最低阶多极矩,其数值与原点的选择无关。例如,对于在 内部、位置为 的单独点电荷,电荷密度可以写为 。这单独点电荷的电单极矩为 ,与原点位置无关。
对于在 内部、位置分别为 、 的两个异电性、同电量的点电荷,电荷密度可以写为 。这单独点电荷的电单极矩为 。最低阶多极矩为电偶极矩 。这电偶极矩与原点位置无关,与两个点电荷之间的相对位置有关。
在静磁学里,设定电流密度分布 ,则其产生的磁向量势 为
- ;
其中, 是场位置, 是源位置。
将前面推导出的 在原点 的泰勒级数带入磁向量势方程式,则可得到
- 。
由于在静磁学里 ,
- ;
应用高斯散度定理,由于电流密度分布 是局部的,假若积分体积 足够大,则位于包含积分体积的曲面 的电流密度分布为零:
- 。
所以,磁单极子项目 等于零。
磁偶极子项目不等于零。首先,应用高斯散度定理和电流密度分布的局部性这事实,可以得到
- 。
注意到以下关系式:
- 。
定义磁偶极矩 为
- 。
只取至最低阶项目,即磁偶极矩项目,则磁向量势 为
- 。