尚努埃尔引理

设R是环，

0 → K → P → M → 0

0 → K' → P ' → M → 0

是两条左R-模的短正合序列，P和P '是投射模，则K ⊕ P '同构于K ' ⊕ P。

定义P ⊕ P '的子模如下，其中φ : P → M，φ' : P ' → M：

${\displaystyle X=\{(p,q)\in P\oplus P^{\prime }:\phi (p)=\phi ^{\prime }(q)\}.}$ 

定义映射 π : X → P为自X投射第一个座标至P。φ' 是满射，所以对任何p ∈ X，都有q ∈ P ' 使得φ(p) = φ'(q)。故有(p,q) ∈ X，得 π (p,q) = p。因此π 是满射。

考虑π 的核：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ker}}\;\pi &=\{(0,q):(0,q)\in X\}\\&=\{(0,q):\phi ^{\prime }(q)=0\}\\&\cong \;{\text{ker}}\;\phi ^{\prime }\cong K^{\prime }.\end{aligned}}}$ 

由此可知有短正合序列

${\displaystyle 0\rightarrow K^{\prime }\rightarrow X\rightarrow P\rightarrow 0.}$ 

因为P是投射的，所以序列分裂，故有X ≅ K ' ⊕ P。

同理可得

${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow X\rightarrow P^{\prime }\rightarrow 0,}$ 

因此X ≅ P ' ⊕ K。结合X的两等价式，结果得证。

以上证明也可推广至长正合序列。^[1]

设 ${\displaystyle \ldots \rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}{\xrightarrow {f_{0}}}M\rightarrow 0}$  是M的一个投射分解，使得${\displaystyle \mathrm {ker} (f_{0})}$ 是投射的，则M的每个投射分解都是如此。

证明

设${\displaystyle \ldots \rightarrow Q_{1}\rightarrow Q_{0}{\xrightarrow {g_{0}}}M\rightarrow 0}$ 是另一个投射分解。考虑短正合序列

${\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {ker} (f_{0})\rightarrow P_{0}\rightarrow M\rightarrow 0}$ 

${\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {ker} (g_{0})\rightarrow Q_{0}\rightarrow M\rightarrow 0}$ 

从尚努埃尔引理可知${\displaystyle P_{0}\oplus \mathrm {ker} (g_{0})\cong Q_{0}\oplus \mathrm {ker} (f_{0})}$ ，而从假设知${\displaystyle Q_{0}\oplus \mathrm {ker} (f_{0})}$ 是投射的，故${\displaystyle \mathrm {ker} (g_{0})}$ 是投射模的直和项，因此也是投射的。

斯蒂芬·尚努埃尔在欧文·卡普兰斯基1958年秋季学期芝加哥大学的同调代数课上发现这个证法。卡普兰斯基在书上说：他在课上给出了一个模的投射分解的一步，并指出若在一个分解中这个核是投射的，则在所有分解中都是投射的，又说虽然命题简单，但须过些时候才能证。尚努埃尔回应说这容易证，于是描述了大概，就是后来以其命名的引理。他们讨论了几天后，得到了完整的证明。^[2]