蛇引理

考虑一阿贝尔范畴${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ （例如阿贝尔群或模的范畴）中的交换图：

使得每一横列均为正合序列。此时存在一个联系${\displaystyle a,b,c}$ 的核与上核的正合序列：

${\displaystyle \ker a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker c\;{\overset {d}{\longrightarrow }}\operatorname {coker} a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} c}$ 

此外，若${\displaystyle f}$ 是单射，则${\displaystyle \ker a\to \ker b}$ 亦然；若${\displaystyle g'}$ 是满射，则${\displaystyle \mathrm {coker} b\to \mathrm {coker} c}$ 亦然。

为了理解蛇引理的由来，观察下图：

并注意到：引理给出的正合序列可在此图中画成倒S状的蛇形。

核间的同态与上核间的同态很容易构造，它们由该图的交换性自然导出，正合性也可以直接代定义验证。重点在于连接同态${\displaystyle d}$ 及序列在该处的正合性。

对于模范畴的情形，同态${\displaystyle d}$ 可如是构造：

选定${\displaystyle x\in \ker c}$ ，并视之为${\displaystyle C}$ 的元素；由于${\displaystyle g}$ 是满射，存在${\displaystyle y\in B}$ 满足${\displaystyle g(y)=x}$ 。由图的交换性，我们有

${\displaystyle g'(b(y))=c(g(y))=c(x)=0}$ （因为${\displaystyle x\in \ker c}$ ）

于是${\displaystyle b(y)\in \ker g'}$ 。由于底部的横列正合，存在${\displaystyle z\in A'}$ 使得${\displaystyle f'(z)=b(y)}$ 。置${\displaystyle d(x):=z+\mathrm {im} (a)}$ 。今须验证${\displaystyle d}$ 是明确定义的，即${\displaystyle d(x)}$ 不依赖${\displaystyle y,z}$ 之选取；此外尚须验证它是个同态，及序列的正合性。

一旦完成以上几点验证，即证明了此引理在模范畴的情形。对一般情形，可利用核与上核的泛性；此外也能使用Mitchell嵌入定理，此定理断言任一阿贝尔范畴都能迁入某个环${\displaystyle R}$ 的${\displaystyle R}$ -模范畴。

在应用上，我们常常需要长正合列的“函子性”或曰“自然性”（就自然变换意义言之）；各种建构的函子性也是同调代数的基本哲学。此函子性可由蛇引理的函子性导出。

设交换图

的横列均为正合，则可利用蛇引理两次，一次在“前”一次在“后”，产生两条长正合序列；它们经由以下交换图相连系：

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X