霍赫希尔德同调

数学中，霍赫希尔德同调（Hochschild homology）是环上结合代数的同调论。对某些函子也有一个霍赫希尔德同调。这是以德国数学家格哈德·霍赫希尔德（德语：Gerhard Hochschild）（Gerhard Hochschild）冠名的。

代数的霍赫希尔德同调之定义

设 k 是一个环，A 是一个结合 k-代数，M 是一个 A-双模。我们记 A^⊗n 为 A 在 k 上的 n 重张量积。给出霍赫希尔德同调的链复形是

C_{n}(A,M):=M\otimes A^{\otimes n}

边缘算子 d_i 定义为

d_{0}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=ma_{1}\otimes a_{2}\cdots \otimes a_{n}

d_{i}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}

d_{n}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=a_{n}m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n-1}

这里对所有 1 ≤ i ≤ n，a_i 属于 A，而 m ∈ M。如果我们令

b=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}d_{i},

则 b ° b = 0，所以 (C_n(A,M), b) 是一个链复形，叫做霍赫希尔德复形，它的同调是 A 系数取 M 的霍赫希尔德同调。

注释

映射 d_i 是使模 C_n(A,M) 成为 k-模范畴中的单纯对象的面映射（face map（英语：face map）），也就是一个函子 Δ^o → k-mod，这里 Δ 是单纯范畴（simplicial category（英语：simplicial category））而 k-mod 是 k-模范畴。这里 Δ^o 是 Δ 的反范畴。退化映射（degeneracy map（英语：degeneracy map））由 s_i(a₀ ⊗ ··· ⊗ a_n) = a₀ ⊗ ··· a_i ⊗ 1 ⊗ a_i+1 ⊗ ··· ⊗ a_n 定义。霍赫希尔德同调是这个单纯模的同调。

函子的霍赫希尔德同调

单纯圆周 S¹ 是有限带基点集合范畴 Fin_* 中一个单纯对象，即一个函子 Δ^o → Fin_*。从而，如果 F 是一个函子 F: Fin → k-mod，通过将 F 与 S¹ 复合，我们得到一个单纯模

\Delta ^{o}{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}{\text{Fin}}_{*}{\overset {F}{\longrightarrow }}k{\text{-}}\operatorname {mod} .

这个单纯模的同调是函子 F 的霍赫希尔德同调。如上交换代数的霍赫希尔德同调是当 F 是 Loday 函子的特例。

Loday 函子

有限带基点集合范畴的一个骨架由对象

n_{+}=\{0,1,\dots ,n\}

给出，这里 0 是基点，而态射是保持基点的态射。令 A 是一个交换 k-代数，M 是一个对称 A-双模。Loday 函子 L(A,M) 作用在 Fin_* 中的对象由

n_{+}\mapsto M\otimes A^{\otimes n}.\,

给出。态射

f:m_{+}\rightarrow n_{+}

送到态射 f_*

f_{*}(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{n})=(b_{0}\otimes \cdots \otimes b_{m})

这里

b_{j}=\prod _{f(i)=j}a_{i},\,\,j=0,\dots ,n,

而 b_j = 1 如果 f⁻¹(j) = ∅。

代数的霍赫希尔德同调之另一描述

一个交换代数 A 的系数取一个对称 A-双模 M 的霍赫希尔德同调是与复合

\Delta ^{o}{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}{\text{Fin}}_{*}{\overset {{\mathcal {L}}(A,M)}{\longrightarrow }}k{\text{-}}\operatorname {mod}

相伴的同调，这个定义与上面的定义相同。

参考文献

Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) 互联网档案馆）