胡列维茨定理

胡列维茨定理是连接同伦群和同调群的关键一环。

绝对版本

对于任意空间 ${\displaystyle X}$  和任意正整数 ${\displaystyle k}$ ，都存在群同态（构造见本小节末尾）

${\displaystyle h_{\ast }\colon \,\pi _{k}(X)\to H_{k}(X)\,\!}$ 

称为从 ${\displaystyle k}$  阶同伦群到 ${\displaystyle k}$  阶（整系数）同调群的胡列维茨同态。当 ${\displaystyle k=1}$  且 ${\displaystyle X}$  道路连通时，胡列维茨同态等价于标准的阿贝尔化映射

${\displaystyle h_{\ast }\colon \,\pi _{1}(X)\to \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X).\,\!}$ 

胡列维茨定理声明，若 ${\displaystyle X}$  是(n -1)-连通空间，那么对于所有 ${\displaystyle k\leq n}$ ，胡列维茨同态都是群同构（当 ${\displaystyle n\geq 2}$ ）或阿贝尔化（当 ${\displaystyle n=1}$ ）。特别地，定理说明第一同伦群（即基本群）的阿贝尔化同构于第一同调群：

${\displaystyle H_{1}(X)\cong \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)].\,\!}$ 

因此，如果 ${\displaystyle X}$  道路连通且 ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$  是完美群，那么 ${\displaystyle X}$  的第一同调群为零。

此外，当 ${\displaystyle X}$  是(n -1)-连通时（${\displaystyle n\geq 2}$ ），胡列维茨同态 ${\displaystyle \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)}$  都是满同态（满射）。

胡列维茨同态由如下方式给定：设 ${\displaystyle u_{n}\in H_{n}(S^{n})}$  为标准生成元，那么胡列维茨映射将同伦类 ${\displaystyle f\in \pi _{n}(X)}$  映射到 ${\displaystyle f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)}$ 。

相对版本

三元版本

单纯集合版本

拓扑空间的胡列维茨定理对于n-连通、满足阚条件的单纯集合也有对应陈述。^[1]

有理胡列维茨定理

设 ${\displaystyle X}$  为单连通拓扑空间，并对于所有 ${\displaystyle i\leq r}$  满足 ${\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0}$ 。那么胡列维茨映射

${\displaystyle h\otimes \mathbb {Q} :\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )}$ 

对于 ${\displaystyle 1\leq i\leq 2r}$  为同构，且对于 ${\displaystyle i=2r+1}$  是满射。^[2][3]

1. ^ Goerss, P. G.; Jardine, J. F., Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, 1999, ISBN 978-3-7643-6064-1 , III.3.6, 3.7
2. ^ Klaus, S.; Kreck, M., A quick proof of the rational Hurewicz theorem and a computation of the rational homotopy groups of spheres, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 2004, 136: 617–623, doi:10.1017/s0305004103007114 
3. ^ Cartan, H.; Serre, J. P., Espaces fibres et groupes d'homotopie, II, Applications, C. R. Acad. Sci. Paris, 1952, 2 (34): 393–395 

• Brown, R., Triadic Van Kampen theorems and Hurewicz theorems, Contemporary Mathematics, 1989, 96: 39–57, ISSN 0040-9383, doi:10.1090/conm/096/1022673 
• Brown, Ronald; Higgins, P. J., Colimit theorems for relative homotopy groups, Journal of Pure and Applied Algebra, 1981, 22: 11–41, ISSN 0022-4049, doi:10.1016/0022-4049(81)90080-3 
• Brown, R.; Loday, J.-L., Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series, 1987, 54: 176–192, ISSN 0024-6115, doi:10.1112/plms/s3-54.1.176 
• Brown, R.; Loday, J.-L., Van Kampen theorems for diagrams of spaces, Topology, 1987, 26 (3): 311–334, ISSN 0040-9383, doi:10.1016/0040-9383(87)90004-8 
• Rotman, Joseph J., An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics 119, Springer-Verlag, 19881998-07-22, ISBN 978-0-387-96678-6 
• Whitehead, George W., Elements of Homotopy Theory, Graduate Texts in Mathematics 61, Springer-Verlag, 1978, ISBN 978-0-387-90336-1