共尾

在数学里，共尾子集是一个预序集合 A 的子集 B，使得任一在 A 内的元素 a，总有一在 B 内的元素 b 会有 a ≤ b。B 因此被称为共尾于 A。相对地，共首子集则是一预序集合 A 的子集 B，使得任一在 A 内的元素 a，总有一在 B 内的元素 b 会有 a ≥ b。通常这个预序集合要么是偏序集合要么是有向集合。

一个共尾函数则指一函数 f: X → A，其中 A 为预序陪域，其值域 f(X) 共尾于此一陪域。一个共尾序列是指一由 A 的元素组成的序列，其元素共尾于 A。一个共尾网指一由 A 的元素组成的网，其元素共尾于 A。

关于共尾子集的势，请见共尾性。

性质

任一偏序集合均共尾于其自身。若 B 是偏序集合 A 的一共尾子集且 C 为 B 的共尾子集，其中 A 的偏序关系限定至 B，则 C 也会是 A 的共尾子集。对一有极大元的偏序集合，每一共尾子集都必须含有所有的极大元。对一有最大元的偏序集合，每一共尾子集都必须含有其最大的元素。没有最大元或极大元的偏序集合存在有分隔的共尾子集。例如，偶数和奇数自然数形成自然数集合的分隔共尾子集。

若一偏序集合 A 存在一全序共尾子集，则可以找到一良序且共尾于 A 的子集 B。

子集的共尾集合

一特别但重要的例子，若 A 是一某一集合 E 的幂集 P(E) 的子集，以颠倒的包含(⊃)排序。给定 A 的这种排序，A 的子集 B 是共尾于 A 的，若每一 a ∈ A，总存在一 b ∈ B 使得 a ⊃ b。

举例来说，若 E 是一个群，A 可以是有限索引的正规子群所组成的集合。然后，A 的共尾子集可以被用来定义这个群的柯西序列和完备性。

另见

  • 余有限

参考

  • Lang, Serge. Algebra (3rd ed., reprint w/ corr.). Addison-Wesley. 1997. ISBN 978-0-201-55540-0.