证明22/7大于π
人们经常使用这个有理数作为圆周率的丢番图逼近。在的连分数表达中,是它的一个渐近分数。从这两个数字的小数形式可见是大于的:
这个近似值从古代就有人使用。纵使阿基米德并非这个近似值的始创者,但他证明了高估了圆周率。他以大于外切正96边形的周界:该圆直径之比作证明。
这个近似值常被称为“约率”[1],除这以外,常用的近似值还有同是由祖冲之在5世纪提出的密率:。
以下是另一个的证明,所用到的只是微积分的基本技巧。它本来只是用于显示可以用有系统的方法计算π的值,而非以证明为最终目标。它比起一些基本证明更容易理解[2]。它的优雅是由于它和丢番图逼近的关连。路卡斯称这条公式为“其中一个估计π值的最美丽结果”[3]。Havil以这个结果作为一个有关以连分数估计的讨论之结尾,说它在该范畴是“不得不提及”的[4]。
概念
故此 。
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被积函数是一个分数,其分子和分母皆是非负函数,所以该积分是正数。由于被积函数是正数,由0至1的定积分也大于0。
以下就证明该积分实际上与 的关系:
展开分子的数项 多项式长除法 定积分(微积分基本定理) 把结果代入1和0,然后相减。注意: 加数
布肯南数学比赛中的出现
求取这积分的值是1968年威廉·罗威尔·普特南数学竞赛的第一个题目[5]:
- A-1. 证明
上限和下限
达赛尔(1944)指出,只要把1代入分母中的 ,可轻易取得积分的下限;把0代入分母中的 ,可取得积分的上限[6]:
结果得出
也许这是计算 值至小数后3位的最快和最基本的方法。另参见达赛尔(1971)[7].
参考资料
- ^ 韩雪涛. 数学科普:常识性谬误流传令人忧. 中华读书报. 2001年8月29日 [2006年10月6日]. (原始内容存档于2007年9月29日).
虽然它又被为“疏率”,但有数学家指出这名称不适合。 - ^ 比较爱德华·梅特兰·赖特和高德菲·哈罗德·哈代,第22章中的质数定理的基本证明
(1938)《数论介绍》第5版,美国牛津大学出版社(1980年4月17日) - ^ edited by Gerald L. Alexanderson, Leonard F. Klosinski, Loren C. Larson (编). The Twenty-Ninth William Lowell Putnam Mathematical Competition: December 7, 1968. The William Lowell Putnam Mathematical Competition problems and solutions: 1965-1984. Washington, DC: The Mathematical Association of America. 1985: p. 9.
- ^ Dalzell, D. P. (1944). "On 22/7", Journal of the London Mathematical Society 19, 133–134页
- ^ Dalzell, D. P. (1971). "On 22/7 and 355/113", Eureka; the Archimedeans' Journal, 34册, pages 10–13页.
相关条目
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