德·斯路斯蚌线

德·斯路斯蚌线是一个平面曲线族，由勒内·弗朗索瓦·沃尔特(男爵德·斯路斯)于1662年研究。

德·斯路斯蚌线曲线族中几个a的值

该曲线被定义在极坐标方程下，

${\displaystyle r=\sec \theta +a\cos \theta \,}$.

在笛卡尔坐标系，该曲线满足的隐式方程

${\displaystyle (x-1)(x^{2}+y^{2})=ax^{2}\,}$

除了对于a=0以外，隐式方程形式存在一个孤立点(0,0)不存在于极坐标方程形式中。

它们是有理曲线、循环代数曲线、三次曲线。

这些表达式有一个渐近线x=1(a≠0)。离渐近线最远的点是(1+a,0)。(0,0)是一个结点(a<−1)。

曲线和渐近线之间的面积是(${\displaystyle a\geq -1}$)，

${\displaystyle |a|(1+a/4)\pi \,}$

当${\displaystyle a<-1}$时，面积是

${\displaystyle \left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}-a\left(2+{\frac {a}{2}}\right)\arcsin {\frac {1}{\sqrt {-a}}}}$。

如果${\displaystyle a<-1}$，曲线将有一个回路。回路的面积是

${\displaystyle \left(2+{\frac {a}{2}}\right)a\arccos {\frac {1}{\sqrt {-a}}}+\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}}$。

曲线族中的四种拥有其独立名称的曲线：

a=0, 直线 (其他曲线族的渐近线)

a=−1, 蔓叶线

a=−2, 正环索线

a=−4, 麦克劳林三等分角曲线