协变微商

向量u的沿着向量v的共变导数 ${\displaystyle \nabla }$  (也写作D)是一个定义第三个称为${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$  (也作 D_vu)的向量的规则，它有如下面所述的导数的属性。向量是一个几何对象，和所选基(坐标系统)无关。固定一个坐标系之后，这个导数和向量基自身的变换规则相同(共变变换)，所以有这个名字。

在欧几里得空间的情形，如果有一个标准正交坐标系，一般会用两个相近的点的两个向量的差来定义向量场的导数。

在这样的系统中，平移其中一个向量到另一个的原点，保持和原来的向量平行。这样得到的欧氏空间的共变导数可以取每个分量的导数。

但是在一般情况，我们必须把坐标系的变化考虑在内。在弯曲空间中，例如地球表面（作为一个球面），平移没有严谨的定义，而和它相似的概念，平行移动，依赖于向量被平移的路径。例如，在二维欧几里得平面极坐标中，导数包含了额外的项用于表述坐标格点自身如何“转动”。在其他的情况下，还有额外的项描述坐标格点如何扩张，收缩，扭转，交织，等等。

这是一个二维欧氏空间中的极坐标中的曲线的一个例子。在曲线参数 t 的向量(比如说加速度，不在图中)可以表达在坐标系${\displaystyle ({\mathbf {e} }_{r},{\mathbf {e} }_{\theta })}$ 中，其中${\displaystyle {\mathbf {e} }_{r}}$  和 ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\theta }}$ 是极坐标中的单位切向量，用作把一个向量分解为在辐向和切向分量的基底。稍后，极坐标的新基底会相对于第一套基底稍有转动。基向量的共变导数（克里斯托费尔符号可以表达这个变化）。

(可能最好不要把t看作时间参数，至少在广义相对论的应用中不要这样。它只是一个任意参数沿着路径光滑而单调的变化。）

另一个例子:向量e在球上位于赤道上的一点Q，方向朝北。假设我们首先沿着赤道平行移动该向量直到P（然后保持它和自己平行））着子午线把它拖到北极N然后（保持方向）继续沿着另一条子午线移动它回到Q。然后我们注意到沿着封闭回路平行移动的向量不会回到原来的向量;它会变成另外一个方向。这在欧氏空间不会发生，它发生的原因是球的曲面上的曲率。如果我们沿着无穷小闭曲面依次沿着两个不同方向然后返回，我们会看到同样的现象。向量的无穷小变化是曲率的一个测量。

备注

定义中的向量 u 和 v 是定义在同一点 p 的。而且共变导数${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$ 也是 p 的一个向量。

共变导数的定义不用空间的度量。但是，一个给定的度量唯一的确定了一个特殊的共变导数，称为列维-奇维塔联络。

导数的性质暗示者${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$ 依赖于p周围的情况，就像标量函数在一点p沿着曲线的导数依赖于p点周围一样。

在共变导数中关于点 p 围的信息可以用来定义向量的平行移动。而且曲率，挠率和测地线也可以只用共变导数来定义。

偶尔，术语“共变导数”指一个一般向量丛沿着基空间的一个切向量的截面的导数；参看“联络形式”中的“向量丛”的有关章节。

函数

给定流形${\displaystyle M}$ 上一点${\displaystyle p}$ 和其上一个实函数${\displaystyle f}$ ， ${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle p}$ 点沿${\displaystyle \mathbf {v} }$ 的共边导数是一个定义在${\displaystyle p}$ 处的标量，记为${\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }f)_{p}}$ ，${\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }f)_{p}}$ 等于实函数${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle p}$ 处沿向量v方向的通常导数，${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f}$ 也可以记为${\displaystyle {\mathbf {v} }f}$  或者${\displaystyle df({\mathbf {v} })}$ 。

向量场

向量场${\displaystyle {\mathbf {u} }}$  在向量${\displaystyle {\mathbf {v} }}$ 方向的共变导数 ${\displaystyle \nabla }$ 记为${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$  对任意向量场 u, v, w 和标量函数f和g由下列性质定义:

1. ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$  对于${\displaystyle {\mathbf {v} }}$  代数式线性所以${\displaystyle \nabla _{f{\mathbf {v} }+g{\mathbf {w} }}{\mathbf {u} }=f\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+g\nabla _{\mathbf {w} }{\mathbf {u} }}$ 
2. ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$  对于${\displaystyle {\mathbf {u} }}$ 可加，所以${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }({\mathbf {u} }+{\mathbf {w} })=\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {w} }}$ 
3. ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$  遵守乘积法则， 也就是说 ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f{\mathbf {u} }=f\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+{\mathbf {u} }\nabla _{\mathbf {v} }f}$  其中${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f}$  如前所定义。

注意${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$ 在点p依赖于v在p点的值以及u在p的一个邻域的值，因为最有一个性质乘积法则的要求。这表示共变导数不是一个张量。

余向量场

给定余向量场(或者说1-形式) ${\displaystyle \alpha }$ ，其共变导数 ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\alpha }$  可以用下边的对于所有向量场u都满足的恒等式来定义

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(\alpha ({\mathbf {u} }))=(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )({\mathbf {u} })+\alpha (\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }).}$ 

余向量场沿着一个向量场v的共变导数还是一个余向量场。

张量场

一旦定义了向量和余向量场的共变导数，它就可以定义到任一张量场上，这要用如下的恒等式，其中${\displaystyle \varphi }$ 和${\displaystyle \psi }$ 是任意两个张量:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(\varphi \otimes \psi )=(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi )\otimes \psi +\varphi \otimes (\nabla _{\mathbf {v} }\psi ),}$ 

并且，若${\displaystyle \varphi }$ 和${\displaystyle \psi }$ 是同一个张量丛的张量场，则

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(\varphi +\psi )=\nabla _{\mathbf {v} }\varphi +\nabla _{\mathbf {v} }\psi .}$ 

沿着向量场v的共变导数也还是同类型的张量场。

给定坐标函数${\displaystyle x^{i},\ i=0,1,2,...}$ ，任何切向量都可以用它的在基${\displaystyle e_{i}={\partial \over \partial x^{i}}}$ 中的分量表示。 共变导数是一个向量，所以可以表示为基向量的线性组合Γ^ke_k，其中Γ^k 是分量（参看爱因斯坦记号)。 要给定共变导数，给定每个基向量场e_j 沿着e_i的共变导数就可以了

${\displaystyle \nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}{\mathbf {e} }_{j}=\Gamma ^{k}{}_{ij}{\mathbf {e} }_{k},}$ 

系数${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ 称为克里斯托费尔符号。 然后使用定义中的规则，我们发现对于一般的向量场 ${\displaystyle {\mathbf {v} }=v^{i}e_{i}}$  and ${\displaystyle {\mathbf {u} }=u^{i}e_{i}}$  可以得到

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }=(v^{i}u^{j}\Gamma ^{k}{}_{ij}+v^{i}{\partial u^{k} \over \partial x^{i}}){\mathbf {e} }_{k},}$ 

这个公式的第一项代表了坐标系对于共变导数的"扭转"，而第二项代表了向量场u的分量的变化。特别的有

${\displaystyle \nabla _{{\mathbf {e} }_{j}}{\mathbf {u} }=\nabla _{j}{\mathbf {u} }=\left({\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{j}}}+u^{k}\Gamma ^{i}{}_{jk}\right){\mathbf {e} }_{i}}$ 

用语言描述的话: 共变导数是一般的沿着坐标的导数加上关于坐标改变的校正项。在物理教科书中，共变导数有时只用这个方程中的分量形式表述。

一个常用的记法是，用一个分号表示共变导数，而用一个逗号表示普通导数。在这个记号下，我们把同样的公式写作::

${\displaystyle \nabla _{j}{\mathbf {v} }\equiv v^{i}{}_{;j}\;\;\;\;\;\;v^{i}{}_{;j}=v^{i}{}_{,j}+v^{k}\Gamma ^{i}{}_{kj}}$ 

这再次表明了向量场的共变导数不仅仅是从沿着坐标的微分中得到 ${\displaystyle v^{i}{}_{,j}}$ ，而且是通过${\displaystyle v^{k}\Gamma ^{i}{}_{kj}}$ 依赖于向量v本身的。

• 联络
• 联络形式
• 列维-奇维塔联络
• 克里斯托费尔符号