狄利克雷函数

在实数域上，狄利克雷函数 ${\displaystyle D(x)}$  定义为

1. 自变量 ${\displaystyle x}$  为有理数时，${\displaystyle D(x)=1}$ ；
2. 自变量 ${\displaystyle x}$  为无理数时，${\displaystyle D(x)=0}$ 。^[1]

狄利克雷函数也可以表达为一个连续函数序列的双重点极限：

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad D(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)}$ 

其中 ${\displaystyle k}$  和 ${\displaystyle j}$  为整数。

• 定义在整个数轴上。
• 无法画出图像。
• 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。
• 处处无极限、不连续、不可导。
• 在任何有界区间上黎曼不可积。另一方面也作为反例说明了对于黎曼积分，单调收敛定理不成立。
• 是偶函数。
• 它在 ${\displaystyle [0,1]}$  上勒贝格可积。

处处不连续

• 若 ${\displaystyle y}$  为有理数则 ${\displaystyle f(y)=1}$ 。为证明函数在 ${\displaystyle y}$  处不连续，问题转化为对任意 ${\displaystyle \varepsilon }$ ，无论 ${\displaystyle \delta }$  多么小，在包含 ${\displaystyle y}$  的长度为 ${\displaystyle \delta }$  的区间内一点 ${\displaystyle z}$ ，${\displaystyle |f(z)-f(y)|\leq \varepsilon }$ 。试取 ${\displaystyle \varepsilon =1/2}$ ，由于无理数为实数域上的稠密集，无论 ${\displaystyle \delta }$  取何值，总有 ${\displaystyle z}$  满足 ${\displaystyle f(z)=0}$ ，让 ${\displaystyle |f(z)-f(y)|=1>\varepsilon =1/2}$ 。

• 若 ${\displaystyle y}$  为无理数，同理，因为有理数为实数域上的稠密集，无论 ${\displaystyle \delta }$  取何值，总有 ${\displaystyle z}$  满足 ${\displaystyle f(z)=1}$ ，让 ${\displaystyle |f(z)-f(y)|=1>\varepsilon =1/2}$ 。