分数傅里叶变换

对信号 ${\displaystyle x(t)}$  做一次傅里叶变换的结果为${\displaystyle {\mathcal {F}}(x)}$  ，做两次傅里叶变换的结果为${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(x))}$  ，表示成${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(x))}$  ，而当做了 ${\displaystyle a}$  次的傅里叶变换可以写成一般式 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{a}(x)={\mathcal {F}}^{(a-1)}({\mathcal {F}}(x))}$  。至此，都以 ${\displaystyle a}$ 为整数做考量，当令 ${\displaystyle a={\frac {2\phi }{\pi }}}$  即 ${\displaystyle \phi ={\frac {1}{2}}a\pi }$  时，将 ${\displaystyle x(t)}$  的分数傅里叶变换定义为 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\phi }(x)={\mathcal {F}}^{2\phi /\pi }(x)}$ ，其中 ${\displaystyle \phi }$  可以不必为整数。

分数傅里叶变换这个概念，其实最早在公元1929年，N.Wiener就已提出，但是并没有受到太多的瞩目。过了约莫50年，V.Namias 在公元1980年重新提出（称之为重发明）这个概念，但是一直到公元1994年，才有人真正把分数傅里叶变换用在信号处理上，此人为 L. B. Almeida。详细历史：1937年提出分数傅里叶变换的概念雏形; 1980年Namias较明确地提出分数傅里叶变换的数学表达式，并将其用于具有确定边界条件的量子力学薛定谔方程的求解1987年Bride & Kerr 给出严格的数学定义以及性质1993年由德国的学者罗曼，土耳其的Ozaktas和以色列的Mendlovic等人首次将分数傅里叶变换概念引入光学并给出了相应的光学过程; Mendlovic＆Ozaktas：渐变折射率GRIN介质中光传播。 A. W. Lohmann: 维格纳分布函数和以及透镜实现，自由空间的光衍射。 1993年Ozaktas，罗曼，Mendlovic等人在光学中全面引入分数傅里叶变换; 1995年Shih提出了另外一种分数傅里叶变换的形式; 1997年刘树田等人根据Shih的定义给出了广义分数傅里叶变换，1999年刘树田等人将分数傅里叶变换应用于图像加密研究中; 2001年Ozaktas等人出版“分数傅里叶变换及其在光学和信号处理中应用”一书。

第一种定义:

${\displaystyle X_{\phi }(u)={\sqrt {1-jcot\phi }}\cdot e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi \cdot csc\phi \cdot ut}e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot t^{2}}x(t)dt}$ 

第二种定义:

${\displaystyle X_{\phi }(u)={\sqrt {\frac {1-jcot\phi }{2\pi }}}\cdot e^{j{\frac {cot\phi }{2}}\cdot u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-jcsc\phi \cdot ut}e^{j{\frac {cot\phi }{2}}\cdot t^{2}}x(t)dt}$ 

${\displaystyle \phi =0.5a\pi }$ , ${\displaystyle a}$  为实数。

当 ${\displaystyle a=1}$  时 (亦即 ${\displaystyle \phi =0.5\pi }$  )，分数傅里叶变换就成了傅里叶变换。

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(f)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(f))}$  ，则可推广为${\displaystyle {\mathcal {F}}^{(n+1)}(f)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{n}(f))}$ ;依此类推，${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-n}(F)}$ 表示${\displaystyle F(\omega )}$ 的${\displaystyle n}$ 次逆变换${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(F)}$ 。

而分数傅里叶变换将以上定义推广至非整数次的${\displaystyle n={\frac {2\alpha }{\pi }}}$ ，且${\displaystyle \alpha }$ 为实数，表示为

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)={\mathcal {F}}^{2\alpha /\pi }(f)}$ ，

当${\displaystyle n={\frac {2\alpha }{\pi }}}$ 是一个整数时则代表傅里叶变换做${\displaystyle n}$ 次。

例如:

${\displaystyle n=1}$ 时相当于做一次傅里叶变换，如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上，则是对信号顺时针转90度

${\displaystyle n=2}$ 时相当于做两次傅里叶变换，如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上，则是对信号顺时针转180度,${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}[x(t)]=x(-t)}$ 

${\displaystyle n=3}$ 时相当于做三次傅里叶变换，如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上，则是对信号顺时针转270度

${\displaystyle n=4}$ 时相当于做四次傅里叶变换，如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上，则是对信号顺时针转360度,${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}[x(t)]=x(t)}$ 

对于任一实数${\displaystyle \alpha }$ ，一个对${\displaystyle f}$ 函数做${\displaystyle \alpha }$ 角度分数傅里叶变换定义为

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)(\omega )={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}e^{i\cot(\alpha )\omega ^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\csc(\alpha )\omega t+i\cot(\alpha )t^{2}/2}f(t)dt}$ 

并且具备以下特性

• 加法性(Additivity)

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha +\beta }(f)={\mathcal {F}}_{\alpha }({\mathcal {F}}_{\beta }(f))={\mathcal {F}}_{\beta }({\mathcal {F}}_{\alpha }(f))}$ 。

• 线性(Linearity)

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }\left[\sum \nolimits _{k}b_{k}f_{k}(u)\right]=\sum \nolimits _{k}b_{k}{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[f_{k}(u)\right]}$ 

• 整数傅里叶性质(Integer Orders)

若${\displaystyle \alpha ={\frac {k\pi }{2}}}$ ,其中${\displaystyle k}$ 为一整数则相当于做${\displaystyle k}$ 次傅里叶变换；

当${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}}$ 时，这个定义就变成了连续傅里叶变换的定义 ，

当${\displaystyle {\displaystyle \alpha ={\frac {-\pi }{2}}}}$ 时，它就变成了连续傅里叶变换之逆变换的定义。

若${\displaystyle \alpha }$ 为${\displaystyle \pi }$ 的整数倍，则余切函数和余割函数不会收敛。

有一方法可解决此问题，就是取limit让以上定义变成有一个狄拉克δ函数被积分的情况，使得

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }={\mathcal {F}}_{\frac {k\pi }{2}}={\mathcal {F}}^{k}=({\mathcal {F}})^{k}}$ 

• 反转性质(Inverse)

${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{\alpha })^{-1}={\mathcal {F}}_{-\alpha }}$ 

• 交换性(Commutativity)

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}}$ 

• 结合律(Associativity)

${\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}\right)}$ 

• 帕塞瓦尔定理(Parseval Theorem)

若从时频分析图上来看，代表的意义是在时频分析上旋转一角度后能量守恒

${\displaystyle \int f^{*}(u)g(u)du=\int f_{\alpha }^{*}(u)g_{\alpha }(u)du}$ 

${\displaystyle x(t)}$  的分数傅里叶变换 (${\displaystyle \phi }$ )的时频分布，等同于 ${\displaystyle x(t)}$  的时频分布(维格纳分布,加伯变换)顺时针旋转角度 ${\displaystyle \phi }$ ，用数学式子表示如下:

维格纳分布(Wigner distribution function)

假设

(a) ${\displaystyle W_{x}(t,f)}$  是 ${\displaystyle x(t)}$  的维格纳分布

(b) ${\displaystyle W_{X_{\phi }}(u,v)}$  是 ${\displaystyle X_{\phi }(u)}$  的维格纳分布

(c) ${\displaystyle X_{\phi }(u)}$  是 ${\displaystyle x(t)}$  的分数傅里叶变换

，则${\displaystyle W_{X_{\phi }}(u,v)=W_{x}(ucos(\phi )-vsin(\phi ),usin(\phi )+vcos(\phi ))}$ 

加伯变换(Gabor transform)

假设

(a) ${\displaystyle G_{x}(t,f)}$  是 ${\displaystyle x(t)}$  的加伯变换

(b) ${\displaystyle G_{X_{\phi }}(u,v)}$  是 ${\displaystyle X_{\phi }(u)}$  的加伯变换

(c) ${\displaystyle X_{\phi }(u)}$  是 ${\displaystyle x(t)}$  的分数傅里叶变换

，则${\displaystyle G_{X_{\phi }}(u,v)=G_{x}(ucos(\phi )-vsin(\phi ),usin(\phi )+vcos(\phi ))}$ 

例子一:

对一个加伯变换后的余弦函数做不同角度的分数傅里叶变换。如下图

例子二:

对一个加伯变换后的矩形函数做不同角度的分数傅里叶变换。如下图

可用分解信号和滤除噪声；一般来说分为两种，一种是在时域(Time domain)上，一种是在频域(Frequency domain)上，

这边利用分数傅里叶变换使其在分数域当中滤波。

(一)时域

假设现在${\displaystyle x(t)}$ 是由两个信号组成:

${\displaystyle x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)}$ ，

${\displaystyle x_{1}(t)}$ 和${\displaystyle x_{2}(t)}$  用数学表示分别如下:

${\displaystyle x_{1}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}0<t<1{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}}$ 

${\displaystyle x_{2}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}8<t<10{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}}$ 

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}-2<t<2{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}}$ 

由式子可以很明显地看出，${\displaystyle x1(t),x2(t)}$ 两信号是方波。

若要将这两个信号分开，是非常简单的一件事情，因为这两个信号在时域上毫无重叠，便可以直接在时域上将这两个信号分开。

则 ${\displaystyle x(t)}$  乘上 ${\displaystyle h(t)}$  时，${\displaystyle x_{1}(t)}$ 这个信号会被保留，${\displaystyle x_{2}(t)}$ 这个信号就被滤掉了。

此作法可成功将这两个信号分开。

限制

此种方法的限制为欲分解的信号必须在时域不能重叠，否则无法成功分解。

(二)频域

${\displaystyle x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)}$ ，

${\displaystyle x_{1}(t)=sin(4\pi t)}$ ，${\displaystyle x_{2}(t)=cos(10\pi t)}$ 。

可以很明显地看出${\displaystyle x_{1}(t)}$ 和${\displaystyle x_{2}(t)}$  在时域上完全重叠，因此很难在时域分解这两个信号。

此时，可以妥善利用傅里叶变换将信号${\displaystyle x(t)}$ 转到频域，其在频域的表示式如下所示:

${\displaystyle X(f)=X_{1}(f)+X_{2}(f)}$ 

${\displaystyle X_{1}(f)={\frac {\delta (f-2)-\delta (f+2)}{2}}}$ 

${\displaystyle X_{2}(f)={\frac {\delta (f-5)+\delta (f+5)}{2}}}$ 

由${\displaystyle X(f)}$ 可以很明显地看出，若要将这两个信号在频域上分开，是非常简单的一件事情，因为这两个信号经过傅里叶变换后，在频域上完全没有重叠。

例子

假设 ${\displaystyle H(f)}$  为一个低通滤波器(Low-pass Filter)

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}-3<t<3{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}}$ 

则 ${\displaystyle X(f)}$  乘上 ${\displaystyle H(f)}$  时，${\displaystyle X_{1}(f)}$  会被保留，${\displaystyle X_{2}(f)}$  就被滤掉了。

反之，若要保留 ${\displaystyle X_{2}(f)}$  而滤掉 ${\displaystyle X_{1}(f)}$  ，则可以使用高通滤波器(High-pass Filter)。

这种把欲处理信号先变换到频域，再做分解的动作，是滤波器设计的常见方法之一。

限制

欲分解的信号必须在频域不能重叠，否则无法成功分解。

(三)时频域分解

${\displaystyle x(t)=e^{j0.5(t-4)^{2}}}$  (啁啾噪声) + 三角波信号。

三角波信号(蓝色)是我们要的信号，将前面的啁啾(绿色)视为噪声，由图中可以发现到，

不论在时域或是频域，皆无法直接将噪音项${\displaystyle e^{j0.5(t-4)^{2}}}$ 去除，这是因为${\displaystyle e^{j0.5(t-4)^{2}}}$ 和三角波信号在时域和频域皆重叠(如下图左上、右上)。

因此，对于两个在时、频域皆重叠的信号来说，很难在一维的时域和频域中将其分解。

但若使用二维的时频分析，则将有机会可以将两个在时、频域皆重叠的信号分解。

这是因为两个在时、频域皆重叠的信号其时频分布并不一定会重叠。因此，只要这两个信号的时频分布没有互相重叠，就可以善用分数傅里叶变换将其成功分解(如下图左下、右下)。

例子一

假设有噪音干扰，所以接收到的信号除了原始信号以外，还包含了噪声。

用时频分析方法来处理接收到的信号，黑色为原始信号(signal)的时频分布，而绿色为噪音(noise)的时频分布，如下图。

现在想把噪声滤掉，以下探讨3种方法来还原原始信号。

方法1 : 使用垂直的 Cutoff line

若在时频分布图中使用垂直的 Cutoff line ，就相当于在一维时域中，要把信号和噪音分离。

但是由下图可清楚看出，使用垂直的 Cutoff line 后，仍然会有一部分的噪音无法被去除。

因此方法1无法完美重建原始信号，而会有扭曲的情形发生。

方法2 : 使用水平的 Cutoff line

若在时频分布图中使用水平的 Cutoff line ，就相当于在一维频域中，要把信号和噪音分离。

但是由下图可清楚看出，使用水平的 Cutoff line 后，仍然会有一部分的噪音无法被去除。

因此方法2也无法完美重建原始信号，而会有扭曲的情形发生。

方法3 : 使用斜的 Cutoff line

若在时频分布图中使用斜的 Cutoff line ，则可以完美分离信号和噪音。如下图。

Cutoff line 的参数包含了 ${\displaystyle \phi }$  和 ${\displaystyle u_{0}}$ ，${\displaystyle \phi }$  是cutoff line和纵轴f-axis的夹角，而 ${\displaystyle u_{0}}$  则是cutoff line 距离原点的距离。

以下示范如何使用分数傅里叶变换和Cutoff line来将噪音滤除:

步骤(1) 首先决定cutoff line和纵轴f-axis的夹角 ${\displaystyle \phi }$ 

步骤(2) 利用分数傅里叶变换对时频分布旋转 ${\displaystyle \phi }$ ，使 cutoff line 垂直横轴 t-axis。

步骤(3) 算出 ${\displaystyle u_{0}}$ 后，再利用低通遮罩(Low pass Mask)将噪音滤掉。

步骤(4) 最后再做一次分数傅里叶变换 ${\displaystyle -\phi }$ ，将时频分布旋转回原来的位置。

令接收到的信号为 ${\displaystyle x_{i}(t)}$ ，最后得到的信号为 ${\displaystyle x_{o}(t)}$ ，可将以上步骤用数学式子表示如下:

${\displaystyle x_{o}(t)=X_{-\phi }[{X_{\phi }(x_{i}(t))H(u)}]}$ 

${\displaystyle H(u)={\begin{cases}1,&{\mbox{if}}u<u_{0}{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{if}}u>u_{0}{\mbox{ }}\end{cases}}}$ 

例子二:

假设发射一信号s(t)，中间受到噪声干扰，最后收到的信号为f(t)=s(t)+noise

 

(a) 发射信号的时域图

(b) 接收信号的时域图

(c) 发射信号的韦格纳分布

 

(d) 接收信号的韦格纳分布，有由此可见cross-term已经大大的影响时频图的可见姓，加上噪声后的韦格纳分布更是无法清楚地将信号分离开来

(e) 发射信号的加伯变换

(f) 接收信号的加伯变换

 

(g) 接收信号的加伯-维格纳变换

(h) 滤波器的设计，这边总共有四条cutoff lines，其中有两条平行，所以总共需要做三次不同的分数傅里叶变换，再借由cutoff lines来去除噪声

(i) 滤波器的设计，这边总共有四条cutoff lines，其中有两条平行，所以总共需要做三次不同的分数傅里叶变换，再借由cutoff lines来去除噪声

 

(j) 对(i)做分数傅里叶变换

(k) 利用高通滤波器滤波，把两条cutoff lines设置在低频

(l) 经过(k)滤波器以后

(m) 透过同上的手法再做两次低通滤波器，把旁边两条线给去除后可得到的还原信号

(n) 发射信号(蓝色)和还原信号(绿色)的比较，两者的MSE仅有0.1128%

由以上可知，透过分数傅里叶旋转时频图的技巧来设计滤波器，我们可以精准地还原信号

例子三:

一样假设接收信号受到了噪声干扰

(a) 发射信号

(b) 接收信号

(c) 接收信号的韦格纳分

(d) 接收信号的加伯变换

(e) 接收信号的加伯-维格纳变换，在这边的滤波器需要五条cutoff lines(蓝线)，但有两条是垂直时间轴，可以直接在时间轴上去除，剩下的三条则需要利用分数傅里叶变换来去除。

(f) 还原信号，MSE仅0.3013%

傅里叶变换

优点: 运算复杂度较低，有快速傅里叶变换的算法。

缺点: 仅有一个维度，频域，来分析；噪声若和信号重叠，则难以分离。

分数傅里叶变换

优点: 运用旋转的技巧在时频图上去除噪声，多了一个维度（时域）来分析；除非噪声和信号同时在频域和时域上重叠，否则将可以分离两信号。

缺点: 运算复杂度较高。

其他的时间-频率变换：

• 短时傅里叶变换
• 小波变换
• chirplet变换

• DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time-frequency distributions （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Class notes of Time frequency analysis and wavelet transform -- from Prof. Jian-Jiun Ding's course website （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• N. Wiener, "Hermitian polynomials and Fourier analysis," Journal of Mathematics Physics MIT, 18, 70-73 (1929).
• V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25, 241–265 (1980).
• Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994).
• Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001).
• D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33, 389-404 (1991). (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)
• Haldun M. Ozaktas, Zeev Zalevsky and M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics.
• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013