拉马努金求和法本质上是部分和的性质,而非整个数列的级数和性质,后者在此情形通常是无法定义的。若我们同时采用欧拉-麦克劳林求和公式以及伯努利数的修正规则,可得:
-
拉马努金写道:[1]当p趋近于无限大,
- ,
其中C是此级数的特定常数,然而拉马努金并未指定其解析延拓以及积分的上下限。将两式作比较,并假设R趋近于0,而x趋近于无限大;当一函数 f(x) 在x = 0不发散:
-
其中拉马努金假设 。若设 ,可得到寻常收敛级数的求和式。当一函数 f(x) 在x = 1不发散,可得:
-
C(0)因此被提议用作发散数列的和。在此建立了求和与积分之间的桥梁。
下文中, 表示“拉马努金求和法的值”。此式最早出现在拉马努金的笔记本,笔记本中没有任何注记指示出此为一种新求和法的范例。
举例来说,1 - 1 + 1 - 1 + ⋯的 为:
- 。
拉马努金计算了一些知名发散级数的“和”。注意到拉马努金和并非一般级数和的概念[2][3],亦即部分和不会收敛到 这个值。
又如1 + 2 + 3 + 4 + ⋯的拉马努金和 :
-
延伸至正偶数幂,可得:
-
而奇数幂的结果则与伯努利数有关:
-
目前有提议采用C(1)取代C(0)作为拉马努金求和的结果,以其可保证一个级数 允许唯一的拉马努金求和结果。[4]
如此拉马努金求和的定义(标作 )与早期拉马努金求和C(0)不相同,也与收敛级数求和的结果不相同;但其带有有趣的性质:若R(x)趋近于一个有限值极限,当x → +1,则此级数 是收敛的,而可得
- 。
特别是如下例子:
-
其中γ是欧拉-马斯刻若尼常数。
拉马努金求和可以延伸至积分:举例来说,运用欧拉-麦克劳林求和公式可写出
- ,
此为ζ函数正规化演算积分的自然延伸。
迭代方程式为有限的,因为当 ,
- ;
其中
- (参见:黎曼ζ函数正规化。)
要是 ,拉马努金求和可以应用在量子场论的重整化方法,得到有限值的结果。