有序向量空间

给定实数${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的向量空间${\displaystyle V}$ 以及集合${\displaystyle V}$ 上的预序${\displaystyle \leq }$ ，如果对${\displaystyle V}$ 中任意的${\displaystyle x,y,z}$ 以及非负实数${\displaystyle \lambda }$ ，以下公理成立

1. ${\displaystyle x\leq y\implies x+z\leq y+z}$ 
2. ${\displaystyle x\leq y\implies \lambda x\leq \lambda y}$ 

则有序对${\displaystyle (V,\leq )}$ 称为预序向量空间（preordered vector space）。若${\displaystyle \leq }$ 还是偏序，则${\displaystyle (V,\leq )}$ 称为有序向量空间。这两条公理说明，平移与正的位似变换是序结构的自同构，并且映射${\displaystyle x\mapsto -x}$ 是到对偶序结构的同构。有序向量空间关于其加法运算构成有序群。

给定预序向量空间${\displaystyle V}$ ，子集${\displaystyle V^{+}=\{x\in V|x\geq 0\}}$ 是一个凸锥，称为${\displaystyle V}$ 的正锥（positive cone）。若${\displaystyle V}$ 是有序向量空间，则${\displaystyle V^{+}\cap (-V^{+})=\{0\}}$ ，因此${\displaystyle V^{+}}$ 还是真锥。

若${\displaystyle V}$ 是实向量空间，${\displaystyle C}$ 是${\displaystyle V}$ 的真凸锥，则存在唯一的偏序使得${\displaystyle V}$ 成为有序向量空间并且${\displaystyle V^{+}=C}$ 。这个偏序由以下方式给出

${\displaystyle x\leq y}$ 当且仅当${\displaystyle y-x\in C}$ 

因此，向量空间${\displaystyle V}$ 上（与向量空间结构相容）的偏序与${\displaystyle V}$ 的真凸锥之间存在一一对应。

• 实数关于通常的顺序构成有序向量空间。
• 以下关系都是${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 上的偏序，且按照从弱到强的顺序排列。
  1. 字典序：${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$ 当且仅当${\displaystyle a<c}$ 或${\displaystyle (a=c,b\leq d)}$ 。这是一个全序。正锥由条件${\displaystyle x>0}$ 或${\displaystyle (x=0,y\geq 0)}$ 给出。用极坐标表示，正锥就是由角度满足${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta \leq {\frac {\pi }{2}}}$ 的点再加上原点组成。
  2. ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$ 当且仅当${\displaystyle a\leq c}$ 且${\displaystyle b\leq d}$ （这实际上就是两个偏序集${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ 的乘积序）。这是一个偏序。正锥由${\displaystyle x\geq 0,y\geq 0}$ 给出。在极坐标中就是${\displaystyle 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}}$ ，再加上原点。
  3. ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$ 当且仅当${\displaystyle (a<c,b<d)}$ 或${\displaystyle (a=c,b=d)}$ ，也就是两个${\displaystyle (\mathbb {R} ,<)}$ 的直积的反射闭包。正锥由${\displaystyle (x>0,y>0)}$ 或${\displaystyle x=y=0}$ 给出。在极坐标系中，就是${\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$ ，再加上原点。

只有第二个序是闭集（作为${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$ 的子集）。

• 仿照${\displaystyle n=2}$ 的情况，可以在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上定义类似的偏序。例如，仿照上面提到的第二个序，可以定义：
  • ${\displaystyle x\leq y}$ 当且仅当${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}\,(i=1,\cdots ,n)}$ 
• 里斯空间是有序向量空间，并且还是格。
• ${\displaystyle [0,1]}$ 上的连续函数组成的空间，${\displaystyle f\leq g}$ 当且仅当对任意${\displaystyle x\in [0,1],\,f(x)\leq g(x)}$ 。

偏序向量空间中的区间是凸集。设${\displaystyle [a,b]=\{x|a\leq x\leq b\}}$ ，由上面的两个公理可以得出：如果${\displaystyle x,y\in [a,b],\lambda \in (0,1)}$ ，则${\displaystyle \lambda x+(1-\lambda )y\in [a,b]}$ 。

• 偏序空间
• 里斯空间

• 尼古拉·布尔巴基; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces; ISBN 0-387-13627-4.
• Schaefer, Helmut H; Wolff, M.P. Topological vector spaces, 2nd ed. New York: Springer. 1999: 204–205. ISBN 0-387-98726-6. 
• Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen. Locally solid Riesz spaces with applications to economics Second. Providence, R. I.: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-3408-8.