Wess-Zumino-Witten模型

设G为紧致单连通李群，设g为其李代数。设γ为黎曼球面${\displaystyle S^{2}}$ （复平面之一点紧致化）上一G-值场

Wess-Zumino-Witten 模型是γ所定义之非线性 sigma 模型，其作用为

${\displaystyle S_{k}(\gamma )=-\,{\frac {k}{8\pi }}\int _{S^{2}}d^{2}x\,{\mathcal {K}}(\gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma \,,\,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma )+2\pi k\,S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )}$ ；

其中首项为量子场论中常见之动量项，重复指标相加，度量为欧几里得度量， ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$  为g上之Killing 二次式，而${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }}$  为 偏导数。

S^WZ 项人称 Wess-Zumino 项，其定义为

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-\,{\frac {1}{48\pi ^{2}}}\int _{B^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{i}}}\,,\,\left[\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{j}}}\,,\,\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{k}}}\right]\right)}$ 

其中 [,] 为交换子，${\displaystyle \epsilon ^{ijk}}$  为完全反对称张量，i=1,2,3，${\displaystyle y^{i}}$ 为积分座标，取值于单位球 ${\displaystyle B^{3}}$ 。 在此积分中，场γ 被延拓至单位球之内部——此所以可能，是由于任何紧致单连通李群之第二同伦群${\displaystyle \pi _{2}(G)}$ 俱为零（γ已于球面上定义）。

拉回

注意：若 ${\displaystyle e_{a}}$  为李代数g之基向量，则${\displaystyle {\mathcal {K}}(e_{a},[e_{b},e_{c}])}$  为g 之 结构常数。结构常数是反对称的，因而定义了一G 上一个三次微分形式。故上述积分实为球${\displaystyle B^{3}}$ 上之三次调和式的拉回。记此三次式为 c、其拉回为 ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ ，则我们有

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=\int _{B^{3}}\gamma ^{*}c}$ 

自此我们可用拓扑方法分析 WZ-项。

拓扑障碍

γ 有多种延拓至球${\displaystyle B^{3}K}$ 之内部；若要求物理现象不依赖于特定之延拓，则常数k需符合以下“量子条件”：

• 取γ 到球内部之任何两种延拓。是为平三维区域至李群G之两支影射。在其边界 ${\displaystyle S^{2}}$ 黏起此两个三维球，则成一三维球面${\displaystyle S^{3}}$ ；其中每一三维半球面来自一${\displaystyle B^{3}}$ 。 γ 之两种延拓则成为一影射： ${\displaystyle S^{3}\rightarrow G}$ 。然而，任何紧致单连通李群G之同伦群

${\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} }$  。故

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=S^{\mathrm {W} Z}(\gamma ')+n}$ 

其中 γ 与 γ' 表示两种延拓， n为一整数——黏合后影射之卷绕数。两种延拓会带来相同的物理系统，若

${\displaystyle \exp \left(i2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma )\right)=\exp \left(i2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma ')\right)}$ 

是故，耦合常数k必须为整数。当G是半单李群，或不连通紧致群， 则由每一连通部所给之一整数构成此阶（level）。

此拓扑障碍亦可以相应之仿射李代数之表示论体现。 当每一阶为一整数，则存在该仿射李代数之酉最高权表示，而其最高权为 dominant integral。此等表示是可积表示^[1]。

我们亦常遇相应于一非紧致单李群－例如 SL(2,R)－之 WZW 模型。胡安·马尔达西那与Hirosi Ooguri（英语：Hirosi Ooguri）以此描述三维反德西特空间上之弦理论。此时 π₃(SL(2,R))=0，故不存在拓扑障碍，而其阶亦不必为整数。

推广

上述各 WZW 模型俱定义于黎曼球面上。我们亦可定义一般紧致黎曼曲面上之场γ。

• 陈-西蒙斯理论
• 纽结理论

• J. Wess, B. Zumino, "Consequences of anomalous Ward identities", Physics Letters B, 37 (1971) pp. 95-97.
• E. Witten, "Global aspects of current algebra", Nuclear Physics B 223 (1983) pp. 422-432.
• V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras

1. ^ Kac, Victor, Infinite dimensional Lie algebras, ISBN 0-521-46693-8 第十章，