和平方 此条目介绍的是乘法公式。关于完美正方形,请见“完美正方形”。关于完全平方,请见“完全平方”。 和平方是数学公式的一种,它属于乘法公式及因式分解,现时经常使用。和平方是指两个数目的总和的平方,公式是: ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!} 目录 1 验证 1.1 基本验证 1.2 简单验证 1.3 几何验证 2 三数和平方 2.1 验证 3 内部链接 验证 基本验证 和平方可直接利用因式分解验证。公式如下: ( a + b ) 2 {\displaystyle (a+b)^{2}} = ( a + b ) ( a + b ) {\displaystyle =(a+b)(a+b)} = a ( a + b ) + b ( a + b ) {\displaystyle =a(a+b)+b(a+b)} = a 2 + a b + a b + b 2 {\displaystyle =a^{2}+ab+ab+b^{2}} = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle =a^{2}+2ab+b^{2}} 简单验证 和平方亦可以表格形式验证: ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}} x) a {\displaystyle a} + b {\displaystyle +b} a {\displaystyle a} a 2 {\displaystyle a^{2}} + a b {\displaystyle +ab} + b {\displaystyle +b} + a b {\displaystyle +ab} + b 2 {\displaystyle +b^{2}} 几何验证 和平方可透过图表来验证。右图中,是一个 ( a + b ) 2 {\displaystyle (a+b)^{2}} 的正方形。可在右图中分割为四部分: a 2 {\displaystyle a^{2}} a b {\displaystyle ab} a b {\displaystyle ab} b 2 {\displaystyle b^{2}} 将四部分加在一起: a 2 + a b + a b + b 2 {\displaystyle a^{2}+ab+ab+b^{2}} = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle =a^{2}+2ab+b^{2}} 三数和平方 三数和平方,指三个(或可多个)数目的总和的平方,得来的公式是: ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c {\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac\,\!} 验证 验证方法与两数和平方差不多,可透过多项式乘法验证: ( a + b + c ) 2 {\displaystyle (a+b+c)^{2}} = ( a + b + c ) ( a + b + c ) {\displaystyle =(a+b+c)(a+b+c)} = a ( a + b + c ) + b ( a + b + c ) + c ( a + b + c ) {\displaystyle =a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)} = a 2 + a b + a c + a b + b 2 + b c + a c + b c + c 2 {\displaystyle =a^{2}+ab+ac+ab+b^{2}+bc+ac+bc+c^{2}} = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c {\displaystyle =a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac} 三数和平方亦可以表格形式验证: ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c {\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac} x) a {\displaystyle a} + b {\displaystyle +b} + c {\displaystyle +c} a {\displaystyle a} a 2 {\displaystyle a^{2}} + a b {\displaystyle +ab} + a c {\displaystyle +ac} + b {\displaystyle +b} + a b {\displaystyle +ab} + b 2 {\displaystyle +b^{2}} + b c {\displaystyle +bc} + c {\displaystyle +c} + a c {\displaystyle +ac} + b c {\displaystyle +bc} + c 2 {\displaystyle +c^{2}} 透过几何验证也同样,根据右图将所有部分加在一起: a 2 + b 2 + c 2 + a b + a b + b c + b c + a c + a c {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ab+bc+bc+ac+ac} = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c {\displaystyle =a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac} 内部链接 完全平方 乘法公式 因式分解 恒等式 乘法 平方 平方数