格朗沃尔不等式

设 I 是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中 a < b。又设β 和 u 为定义在 I 上的实数值的连续函数。假设 u 是一个在 I 的内部（也就是不包括端点）可微的函数，并且满足如下的微分不等式：

${\displaystyle u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ },}$ 

那么对于所有的${\displaystyle t\in I^{\circ }}$ ，函数 u 都小于等于以下微分方程${\displaystyle y'(t)=\beta (t)\,y(t)}$ 的解：

${\displaystyle u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}$ 

注意：不等式对函数 β 和 u 的符号没有任何要求。

证明

如果设

${\displaystyle v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}$ 

是以下微分方程

${\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t),}$ 

其中 v(a) = 1 的解，那么对所有的 t 都有 v(t) > 0， 因此根据复合函数求导法则中的除法定则：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}\leq {\frac {\beta uv-\beta vu}{v^{2}}}=0}$ 

对所有的 t > a 成立，因此

${\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a)}$ 

于是格朗沃尔不等式得证。

设 I 是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中 a < b。又设 α、β 和 u 为定义在 I 上的实数值的函数。假设 β 和 u 是连续的，则有：

• (a) 如果 β 是非负函数并且 u 满足如下的积分不等式：

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I}$ ，

那么

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I}$ 。

• (b) 如果在之前的条件下， α 还是一个常数，那么

${\displaystyle u(t)\leq \alpha \exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}$ 

注意：

• 不等式的成立条件里并没有限制 α 和 u 的符号；
• 相比于微分形式，积分形式中对函数 u 的可微性没有做要求；

证明

(a) 定义

${\displaystyle v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.}$ 

则运用复合函数求导法则中的乘积法则、链式法则、指数函数的求导法则以及微积分基本定理，可以得到：

${\displaystyle v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I}$ ，

由于注意到括号中的部分小于 α，可以得到相应的不等式，并进行积分。由于函数 β 以及其指数都是非负函数，不等号保持不变。然而 v(a) = 0，因此积分式等价于：

${\displaystyle v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.}$ 

再运用第一步里 v(t) 的定义，就得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s\end{aligned}}}$ 。

最后将原来条件里的不等式带入上式左边，就可以得到格朗沃尔不等式了。

(b) 如果函数 α 为常数函数，那么命题 (a) 中不等式的右边可以进行积分。由微积分基本定理可以获得：

${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha +{\biggl (}{-}\alpha \exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha \exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I\end{aligned}}}$ 。

• 全局解

1. ^ T. H. Gronwall: Note on the derivative with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations, Ann. of Math 20 (1919), 292–296.
2. ^ Richard Bellman, The stability of solutions of linear differential equations, Duke Math. J. 10 (1943), 643–647.

• 楼红卫，林伟，《常微分方程》，复旦大学出版社，2007年，ISBN：978-7-309-05590-0/O.400
• 李荣华，刘播，《微分方程数值解法(第4版)》，高等教育出版社，2009年。
• Jan A. Sanders, Ferdinand Verhulst, James A. Murdock, Averaging methods in nonlinear dynamical systems, Springer,2007.