伯努利不等式

伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当${\displaystyle n=0,1}$ ，不等式明显成立。假设不等式对正整数${\displaystyle n}$ ，实数${\displaystyle x\geq -1}$ 时成立，那么

${\displaystyle (1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)}$ 

${\displaystyle =1+(n+1)x+nx^{2}\geq 1+(n+1)x}$ 。

下面是推广到实数幂的版本：如果${\displaystyle x>-1}$ ，那么：

若${\displaystyle r\leq 0}$ 或${\displaystyle r\geq 1}$ ，有${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$ ；

若${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ，有${\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx}$ 。

这不等式可以用导数比较来证明：

当${\displaystyle r=0,1}$ 时，等式显然成立。

在${\displaystyle (-1,\infty )}$ 上定义${\displaystyle f(x)=(1+x)^{r}-(1+rx)}$ ，其中${\displaystyle r\neq 0,1}$ ， 对${\displaystyle x}$ 求导得${\displaystyle f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r}$ ， 则${\displaystyle f'(x)=0}$ 当且仅当${\displaystyle x=0}$ 。分情况讨论：

1. ${\displaystyle 0<r<1}$ ，则对${\displaystyle x>0}$ ，${\displaystyle f'(x)<0}$ ；对${\displaystyle -1<x<0}$ ，${\displaystyle f'(x)>0}$ 。因此${\displaystyle f(x)}$ 在${\displaystyle x=0}$ 时取最大值${\displaystyle 0}$ ，故得${\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx}$ 。
2. ${\displaystyle r<0}$ 或${\displaystyle r>1}$ ，则对${\displaystyle x>0}$ ，${\displaystyle f'(x)>0}$ ；对${\displaystyle -1<x<0}$ ，${\displaystyle f'(x)<0}$ 。因此${\displaystyle f(x)}$ 在${\displaystyle x=0}$ 时取最小值${\displaystyle 0}$ ，故得${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$ 。

在这两种情况，等号成立当且仅当${\displaystyle x=0}$ 。

下述不等式从另一边估计${\displaystyle (1+x)^{r}}$ ：对任意${\displaystyle x,{\mbox{ }}r>0}$ ，都有

${\displaystyle (1+x)^{r}<e^{rx}\,}$ 。

我们知道${\displaystyle 1+x<e^{x}}$ （${\displaystyle x>0}$ ），因此这个不等式是平凡的。