算术-几何平均值不等式 ,简称算几不等式 ,是一个常见而基本的不等式 ,表现算术平均数 和几何平均数 之间恒定的不等关系。设
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
为
n
{\displaystyle n}
个正实数 ,它们的算术平均数 是
A
n
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
{\displaystyle \mathbf {A} _{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}
,它们的几何平均数 是
G
n
=
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
n
{\displaystyle \mathbf {G} _{n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}
。算术-几何平均值不等式表明,对任意的正实数
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
:
A
n
≥
G
n
{\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}}
等号成立当且仅当
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
。
通常用于两个数之间,设这两个数为
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
,也就是
a
+
b
2
⩾
a
b
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}}
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数,是对数函数 之凹性 的体现,在数学 、自然科学 、工程科学 以及经济学 等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式有时被称为平均值不等式 (或均值不等式 ),其实后者是一组更广泛的不等式。
例子
在
n
=
4
{\displaystyle n=4}
的情况,设:
x
1
=
3.5
,
x
2
=
6.2
,
x
3
=
8.4
,
x
4
=
5
{\displaystyle x_{1}=3.5,\ x_{2}=6.2,\ x_{3}=8.4,\ x_{4}=5}
,那么
A
4
=
3.5
+
6.2
+
8.4
+
5
4
=
5.775
,
G
4
=
3.5
×
6.2
×
8.4
×
5
4
≈
5.4945
{\displaystyle \mathbf {A} _{4}={\frac {3.5+6.2+8.4+5}{4}}=5.775,\ \mathbf {G} _{4}={\sqrt[{4}]{3.5\times 6.2\times 8.4\times 5}}\approx 5.4945}
可见
A
4
≥
G
4
{\displaystyle \mathbf {A} _{4}\geq \mathbf {G} _{4}}
。
历史上的证明
历史上,算术-几何平均值不等式拥有众多证明。
n
=
2
{\displaystyle n=2}
的情况很早就为人所知,但对于一般的
n
{\displaystyle n}
,不等式并不容易证明。1729年,英国 数学家 麦克劳林 最早给出一般情况的证明,用的是调整法 ,然而这个证明并不严谨,是错误的。
柯西的证明
1821年,法国数学家柯西 在他的著作《分析教程 》中给出一个使用逆向归纳法 的证明[1] :
命题
P
n
{\displaystyle P_{n}}
:对任意的
n
{\displaystyle n}
个正实数
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
,
A
n
≥
G
n
{\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}}
当
n
=
2
{\displaystyle n=2}
时,
P
2
{\displaystyle P_{2}}
显然成立。假设
P
n
{\displaystyle P_{n}}
成立,那么
P
2
n
{\displaystyle P_{2n}}
成立。证明:对于
2
n
{\displaystyle 2n}
个正实数
x
1
,
⋯
,
x
n
,
y
1
,
⋯
,
y
n
{\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n}}
,
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
+
y
1
+
⋯
y
n
2
n
=
1
2
(
x
1
+
⋯
+
x
n
n
+
y
1
+
⋯
+
y
n
n
)
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+y_{1}+\cdots y_{n}}{2n}}=\ {\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}+{\frac {y_{1}+\cdots +y_{n}}{n}}\right)}
≥
1
2
(
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
n
+
y
1
⋅
y
2
⋯
y
n
n
)
≥
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
n
⋅
y
1
⋅
y
2
⋯
y
n
n
{\displaystyle \geq \ {\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}+{\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}\right)\geq \ {\sqrt {{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}}}}
=
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
y
1
⋅
y
2
⋯
y
n
2
n
{\displaystyle =\ {\sqrt[{2n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}}
假设
P
n
{\displaystyle P_{n}}
成立,那么
P
n
−
1
{\displaystyle P_{n-1}}
成立。证明:对于
n
−
1
{\displaystyle n-1}
个正实数
x
1
,
⋯
,
x
n
−
1
{\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n-1}}
,设
A
n
−
1
=
x
1
+
⋯
+
x
n
−
1
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {A} _{n-1}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}
,
G
n
−
1
=
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
−
1
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {G} _{n-1}={\sqrt[{n-1}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}}}}
,那么由于
P
n
{\displaystyle P_{n}}
成立,
x
1
+
⋯
+
x
n
−
1
+
A
n
−
1
n
≥
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
−
1
A
n
−
1
n
{\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\mathbf {A} _{n-1}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}\mathbf {A} _{n-1}}}}
。
但是
x
1
+
⋯
+
x
n
−
1
=
(
n
−
1
)
A
n
−
1
{\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n-1}=(n-1)\mathbf {A} _{n-1}}
,
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
−
1
=
G
n
−
1
n
−
1
{\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}=\mathbf {G} _{n-1}^{n-1}}
,因此上式正好变成
A
n
−
1
n
≥
G
n
−
1
n
−
1
A
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {A} _{n-1}^{n}\geq \mathbf {G} _{n-1}^{n-1}\mathbf {A} _{n-1}}
也就是说
A
n
−
1
≥
G
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {A} _{n-1}\geq \mathbf {G} _{n-1}}
综上可以得到结论:对任意的自然数
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
,命题
P
n
{\displaystyle P_{n}}
都成立。这是因为由前两条可以得到:对任意的自然数
k
{\displaystyle k}
,命题
P
2
k
{\displaystyle P_{2^{k}}}
都成立。因此对任意的
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
,可以先找
k
{\displaystyle k}
使得
2
k
≥
n
{\displaystyle 2^{k}\geq n}
,再结合第三条就可以得到命题
P
n
{\displaystyle P_{n}}
成立了。
归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托 (George Chrystal)在其著作《代数论》(Algebra )的第二卷中给出的[2] :
由对称性不妨设
x
n
+
1
{\displaystyle x_{n+1}}
是
x
1
,
x
2
⋯
x
n
+
1
{\displaystyle x_{1},x_{2}\cdots x_{n+1}}
中最大的,由于
A
n
+
1
=
n
A
n
+
x
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle \mathbf {A} _{n+1}={\frac {n\mathbf {A} _{n}+x_{n+1}}{n+1}}}
,设
x
n
+
1
=
A
n
+
b
{\displaystyle x_{n+1}=\mathbf {A} _{n}+b}
,则
b
≥
0
{\displaystyle b\geq 0}
,并且有
A
n
+
1
=
A
n
+
b
n
+
1
{\displaystyle \mathbf {A} _{n+1}=\mathbf {A} _{n}+{\frac {b}{n+1}}}
。
根据二项式定理 ,
A
n
+
1
n
+
1
=
(
A
n
+
b
n
+
1
)
n
+
1
≥
A
n
n
+
1
+
(
n
+
1
)
A
n
n
b
n
+
1
=
A
n
n
(
A
n
+
b
)
=
A
n
n
x
n
+
1
≥
G
n
n
x
n
+
1
{\displaystyle \mathbf {A} _{n+1}^{n+1}=(\mathbf {A} _{n}+{\frac {b}{n+1}})^{n+1}\geq \mathbf {A} _{n}^{n+1}+(n+1)\mathbf {A} _{n}^{n}{\frac {b}{n+1}}=\mathbf {A} _{n}^{n}(\mathbf {A} _{n}+b)=\mathbf {A} _{n}^{n}x_{n+1}\geq \mathbf {G} _{n}^{n}x_{n+1}}
=
x
1
x
2
⋯
x
n
+
1
=
G
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle =x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}=\mathbf {G} _{n+1}^{n+1}}
于是完成了从
n
{\displaystyle n}
到
n
+
1
{\displaystyle n+1}
的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3] :
在
n
{\displaystyle n}
的情况下有不等式
A
n
≥
G
n
{\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}}
和
x
n
+
1
+
(
n
−
1
)
G
n
+
1
≥
n
x
n
+
1
G
n
+
1
n
−
1
n
{\displaystyle x_{n+1}+(n-1)\mathbf {G} _{n+1}\geq n{\sqrt[{n}]{x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}}
成立,于是:
x
1
+
x
2
⋯
+
x
n
+
x
n
+
1
+
(
n
−
1
)
G
n
+
1
n
≥
G
n
+
x
n
+
1
G
n
+
1
n
−
1
n
≥
2
G
n
n
x
n
+
1
G
n
+
1
n
−
1
2
n
=
2
G
n
+
1
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}+x_{n+1}+(n-1)\mathbf {G} _{n+1}}{n}}\geq \mathbf {G} _{n}+{\sqrt[{n}]{x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}\geq 2{\sqrt[{2n}]{\mathbf {G} _{n}^{n}x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}=2\mathbf {G} _{n+1}}
所以
(
n
+
1
)
A
n
+
1
=
x
1
+
x
2
⋯
+
x
n
+
x
n
+
1
≥
2
n
G
n
+
1
−
(
n
−
1
)
G
n
+
1
=
(
n
+
1
)
G
n
+
1
{\displaystyle (n+1)\mathbf {A} _{n+1}=x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}+x_{n+1}\geq 2n\mathbf {G} _{n+1}-(n-1)\mathbf {G} _{n+1}=(n+1)\mathbf {G} _{n+1}}
,从而有
A
n
+
1
≥
G
n
+
1
{\displaystyle \mathbf {A} _{n+1}\geq \mathbf {G} _{n+1}}
。
基于琴生不等式的证明
注意到几何平均数
G
n
{\displaystyle \mathbf {G} _{n}}
实际上等于
exp
(
ln
x
1
+
ln
x
2
+
⋯
+
ln
x
n
n
)
{\displaystyle \exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right)}
,因此算术-几何平均不等式等价于:
ln
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
≥
ln
x
1
+
ln
x
2
+
⋯
+
ln
x
n
n
{\displaystyle \ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}}
。由于对数函数 是一个凹函数 ,由琴生不等式 可知上式成立。
基于排序不等式的证明
令
b
i
=
a
i
G
n
(
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
n
)
{\displaystyle b_{i}={\frac {a_{i}}{{\mathbf {G} }_{n}}}(i=1,2,3,...,n)}
,于是有
b
1
b
2
⋯
b
n
=
1
{\displaystyle b_{1}b_{2}\cdots b_{n}=1}
,再作代换
b
1
=
c
1
c
2
,
b
2
=
c
2
c
3
,
⋯
,
b
n
=
c
n
c
1
{\displaystyle b_{1}={\frac {c_{1}}{c_{2}}},b_{2}={\frac {c_{2}}{c_{3}}},\cdots ,b_{n}={\frac {c_{n}}{c_{1}}}}
,运用排序不等式 得到:
c
1
c
2
+
c
2
c
3
+
⋯
+
c
n
c
1
⩾
c
1
c
1
+
c
2
c
2
+
.
.
.
+
c
n
c
n
=
n
{\displaystyle {\frac {c_{1}}{c_{2}}}+{\frac {c_{2}}{c_{3}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{c_{1}}}\geqslant {\frac {c_{1}}{c_{1}}}+{\frac {c_{2}}{c_{2}}}+...+{\frac {c_{n}}{c_{n}}}=n}
,于是得到
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
⩾
n
G
n
{\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\geqslant n{\mathbf {G} }_{n}}
,即原不等式成立。
此外还有基于伯努利不等式 或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
推广
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。
加权算术-几何平均不等式
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式,加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设
x
1
,
⋯
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}
和
p
1
,
⋯
,
p
n
{\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}
为正实数,并且
p
1
+
p
2
⋯
+
p
n
=
1
{\displaystyle p_{1}+p_{2}\cdots +p_{n}=1}
,那么:
p
1
x
1
+
p
2
x
2
⋯
+
p
n
x
n
≥
x
1
p
1
x
2
p
2
⋯
x
n
p
n
{\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\cdots +p_{n}x_{n}\geq x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}}
。加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。
矩阵形式
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量 的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵,一样有类似的不等式:
对于系数都是正实数的矩阵
[
a
11
⋯
a
1
k
⋮
⋱
⋮
a
n
1
⋯
a
n
k
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nk}\end{bmatrix}}}
设
A
j
=
1
n
∑
i
=
1
n
a
i
j
{\displaystyle A_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}}
,
G
i
=
∏
j
=
1
k
a
i
j
k
{\displaystyle G_{i}={\sqrt[{k}]{\prod _{j=1}^{k}a_{ij}}}}
,那么有:
A
1
A
2
⋯
A
k
k
⩽
G
1
+
G
2
+
⋯
+
G
n
n
{\displaystyle {\sqrt[{k}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{k}}}\leqslant {\frac {G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}}{n}}}
也就是说:对
k
{\displaystyle k}
个纵列取算术平均数,它们的几何平均小于等于对
n
{\displaystyle n}
个横行取的
n
{\displaystyle n}
个几何平均数的算术平均。
极限形式
也称为积分形式 :对任意在区间
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
上可积的正值函数
f
{\displaystyle f}
,都有
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
≥
exp
(
∫
0
1
ln
f
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)dx\geq \exp(\int _{0}^{1}\ln f(x)dx)}
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
≥
exp
(
ln
x
1
+
ln
x
2
+
⋯
+
ln
x
n
n
)
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq \exp({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}})}
后,将两边的黎曼和 中的
n
{\displaystyle n}
趋于无穷大后得到的形式。
算数-几何-调和平均值不等式
若再规定
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
的调和平均数
H
=
n
1
x
1
+
1
x
2
+
.
.
.
+
1
x
n
.
{\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}.}
则有
A
n
≥
G
n
≥
H
n
{\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}}
且等号依旧成立当且仅当
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
。
证明由算数-几何平均值不等式知
1
x
1
+
1
x
2
+
.
.
.
+
1
x
n
n
≥
1
x
1
1
x
2
⋯
1
x
n
n
=
1
x
1
x
2
⋯
x
n
n
{\displaystyle {\frac {{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{{\frac {1}{x_{1}}}{\frac {1}{x_{2}}}\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}}
故
x
1
x
2
⋯
x
n
n
≥
n
1
x
1
+
1
x
2
+
.
.
.
+
1
x
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}}
即
G
n
≥
H
n
{\displaystyle \mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}}
且等号成立于
1
x
1
=
1
x
2
=
⋯
=
1
x
n
{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}={\frac {1}{x_{2}}}=\cdots ={\frac {1}{x_{n}}}}
即
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
参见 参考来源
^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ) Paris, 1821. p457.
^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ), Chapter XXIV.p46.
^ P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007
匡继昌,《常用不等式》,山东科技出版社。
李胜宏,《平均不等式与柯西不等式》,华东师大出版社。
莫里斯·克莱因(Morris Kline),张理京 张锦炎 江泽涵 译,《古今数学思想》,上海科学技术出版社。
李兴怀,《学科奥林匹克丛书·高中数学》,广东教育出版社。