凹凸性 (几何)
在几何学中,一个几何图形可分为凸或凹的。例如多边形和多面体。其中,凸的多边形称为凸多边形、凹的多边形则可称为凹多边形或非凸多边形,多面体与多胞体亦然。然而在三维或更高维度的空间中,不是凸的几何图形不一定会是凹几何图形,亦可能是星形几何图形,因此在三维或更高维度的空间中较常分为凸与非凸。
凸几何图形
凸几何图形是指内部为凸集的几何图形[1],二维空间中的凸几何图形称为凸多边形、三维空间则称凸多面体。若一多胞形的内部为凸集,则称凸多胞形。
二维空间中的凸几何图形称为凸多边形,简单多边形的下列性质与其凸性等价:
凸几何图形的凸包与其边界相同。
凹几何图形
凹几何图形是指内部不是凸集的几何图形,在二维空间中,不是凸集的简单多边形,称为凹多边形(Concave polygon)[2]或凹角[3]。
凹多边形至少存在一个内角大于180度。
在三维空间中,不是凸的几何图形不一定会是凹几何图形,亦可能是星形多面体,因此在三维空间中较常分为凸与非凸。
严格凸与非严格凸
如果一个简单多边形的每个内角严格小于180度,是严格凸的;如果每个非相邻顶点间的线段除端点外严格位于多边形的内部,也是严格凸的。
所有非退化三角形都是严格凸的。
星形几何图形
星形几何图形是非凸几何图形的一个特例,其并未有一个明确的定义。在二维空间中,称为星形多边形,数学家Branko Grünbaum指出了两种由克普勒提出的定义:一种是具有自相交棱的正星形多边形,且自相交的棱不产生新的顶点,另一种是边可递的简单凹多边形[4]。
参见
参考文献
- ^ Definition and properties of convex polygons with interactive animation.. [2009-10-18]. (原始内容存档于2017-10-17).
- ^ McConnell, Jeffrey J., Computer Graphics: Theory Into Practice: 130, 2006, ISBN 0763722502.
- ^ Mason, J. I., On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette, 1935, 30 (291): 237–238 [2009-10-18], (原始内容存档于2016-03-25).
- ^ Grünbaum & Shephard 1987,section 2.5
外部链接
- 埃里克·韦斯坦因. Convex polygon. MathWorld.
- 埃里克·韦斯坦因. Concave polygon. MathWorld.