戴德金和

戴德金和（Dedekind sum）是德国数学家理查德·戴德金在跟戴德金η函数有关的工作中提出的。

定义这个函数，首先要定义 $((x))$ ：若 $x$ 是整数， $((x))=0$ ，否则为 $x-[x]-0.5$ ，其中 $[x]$ 是最大而又不大于 $x$ 的整数。

对于非零整数 $h,k$ ，戴德金和 $s(h,k)$ 定义为 $s(h,k)=\sum _{\mu =0}^{k-1}(({\frac {\mu }{k}}))(({\frac {h\mu }{k}}))$

若 $h,k$ 互质且均大于0，有 $s(h,k)={\frac {1}{4k}}\sum _{\mu =1}^{k-1}\cot \left({\frac {\pi h\mu }{k}}\right)\cot \left({\frac {\pi \mu }{k}}\right)$

公式

有公因数时： $s(ch,ck)=s(h,k)$
Petersson-Knopp恒等式： $\sum _{d|n}\sum _{m=0}^{d-1}s\left({\frac {n}{d}}h+mk,kd\right)=\sigma (n)s(h,k)$ ， $\sigma (n)$ 为因数函数，是 $n$ 的正因数之和。其中一个较易证明的特例为当 $p$ 为质数， $(p+1)s(h,k)=s(ph,k)+\sum _{m=0}^{p-1}s(h+mk,pk)$
周期性： $s(nk+h,k)=s(h,k)$
若 $pq\equiv 1{\pmod {k}}$ ， $s(p,k)=s(q,k)$ 。
$s(1,k)={\frac {(k-1)(k-2)}{12k}}$
若 $k$ 为奇数， $s(2,k)={\frac {(k-1)(k-5)}{24k}}$
对于 $k\equiv 1{\pmod {h}}$ ， $12hks(h,k)=(k-1)(k-(h^{2}+1))$
对于 $k\equiv 2{\pmod {h}}$ ， $12hks(h,k)=(k-2)(k-(h^{2}+1)/2)$
对于 $k\equiv -1{\pmod {h}}$ ， $12hks(h,k)=k^{2}+(h^{2}-6h+2)k+(h^{2}+1)$
互反和：

s(h,k)+s(k,h)=-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h}{k}}+{\frac {1}{hk}}+{\frac {k}{h}}\right)