波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
波尔查诺-魏尔施特拉斯定理(英语:Bolzano–Weierstrass theorem)是数学中,尤其是拓扑学与实分析中,用以刻画 中的紧集的基本定理,得名于数学家伯纳德·波尔查诺与卡尔·魏尔施特拉斯。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明,有限维实向量空间中的一个子集是序列紧致(每个序列都有收敛子序列)当且仅当是有界闭集。
历史
这个定理最早由伯纳德·波尔查诺证明,当他在证明介值定理时,附带证明了这个定理,但是他的证明已经散佚。卡尔·魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔查诺-魏尔施特拉斯定理是实分析中的基本定理。
基础概念
- 子列:也称为子序列。一个序列 的一个子列是指在 中抽取无穷多个元素,然后按照它们在原来序列里的顺序排列起来的序列。严格的定义是:如果存在一个从 到 的严格单调递增的映射 ,使得 ,就称 是 的一个子列。
- 有界闭集: 中的有界闭集概念建立在给定的拓扑和度量上的。由于在有限维向量空间中所有度量等价,所以可以将 视为装备了欧几里德度量的度量空间(并且可以定义相应的范数)。 的子集 有界,当且仅当所有 中元素 的范数小于一个给定常数 。注意这时对应的拓扑是欧几里德范数诱导的自然拓扑。
- 序列紧致:称一个集合 是序列紧致的,是指每个由集合 中元素所组成的数列都包含收敛的子列,并且该子列收敛到集合 中的某个元素。
定理
波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理可以视为刻画有限维实向量空间 中序列紧致集合的定理。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的核心部分可以仅仅使用序列的语言来表示:
任一 中的有界序列 都至少包含一个收敛的子列。[1]:56
从这个定理出发,在给定的有界闭集 中任取一个序列,那么这个序列是有界的,从而至少包含一个收敛的子列。而从 的封闭性可知,这个子列作为 的一部分,其收敛的极限必然也在 中。所以可以推知:
任一 中的有界闭集必然序列紧致。[1]:163
这个推论给出了 中集合序列紧致的充分条件。另一方面,可以证明序列紧致的集合必然是有界闭集。这样就将充分条件推进为充要条件:
证明
证明的关键是定理的核心部分,也就是定理1:任一 中的有界序列 都至少包含一个收敛的子列。
设有实数列 ,定义集合: 。集合中的每个元素,都比序列中排在其后的所有元素都大。
- 如果 中有无限个元素,在其中取下标递增的一个数列,那么这个数列是 的子列,并且单调递减,构造完毕。
- 如果 中元素个数有限,那么设 为 中元素的下标中最大的一个。对任意 ,考虑 , 不在集合 中,所以 之后至少会有一个元素大于 。换句话说,序列 里面排在 后面的任一元素,它后面都必然还有一个比它大的元素。于是取 , 为第一个大于 的元素的下标, 为第一个大于 的元素的下标,依此类推,就可以得到 的一个单调递增的子列。
综上可得,任何实数列必然包含单调的子列。
先考虑一维(也就是 )的情况。给定有界的实数列 ,取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增,由于数列有上界,依据数列的单调收敛定理,这个子列必然收敛。
对于高维( )的情况,证明的思路是取多次子列。
设 为一个有界序列,则 个实数列 都是有界数列。于是存在 的子列 使得 收敛。但是 仍是有界数列,因而存在子列 使得 也收敛(注意这里 必然是收敛的)。在进行类似的 次操作后,我们就可以得到一个子列,使得 都收敛,也就是说存在子列 收敛。证毕。
波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质
在有限维度量空间中,波尔查诺-魏尔斯特拉斯说明了序列紧致的集合就是有界闭集。然而在一般的度量空间中,有界闭集不一定是序列紧致的。为此,拓扑学中将一般度量空间中的序列紧致称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。
设 为度量空间 的子集。若 中任一序列 都包含一个收敛的子列,其极限也是 中元素,就称 具有波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。[1]:598
如果度量空间本身满足波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质,就称这个度量空间为紧空间。在度量空间中,波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质等价于海恩-波莱尔性质:所有 的开覆盖都有限子覆盖[1]:602。
参考来源
- Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. 编辑
- Hazewinkel, Michiel (编), Bolzano-Weierstrass theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- A proof of Bolzano–Weierstrass Theorem (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- PlanetMath: proof of Bolzano–Weierstrass Theorem (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Proof of Bolzano–Weierstrass Theorem as a rap (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Demonstration of Bolzano–Weierstrass Theorem (页面存档备份,存于互联网档案馆)