卢津定理

卢津(Лузин)定理实分析的定理。约略来说,这定理指可测函数差不多是连续函数

定理叙述

一维形式

 可测函数,对任何 ,都存在紧致集 ,使得 ,而且f限制到E上是连续函数。此处 勒贝格测度

证明

因为f可测,所以在一个测度任意小的开集以外,f有界函数。在开集上重定义f为0,那么f在[a,b]上有界,因而是可积函数。因为连续函数在可积函数的空间 稠密,存在连续函数序列 L1范数收敛至f,即 。故此有子序列 几乎处处收敛至f。从叶戈罗夫定理可知,除了一个测度任意小的开集外, 一致收敛f。因为连续函数的一致收敛极限仍是连续的,故此f在此开集外连续。取E为以上两个开集的并集在[a,b]中的补集,那么原本的fE上连续。

多维形式

  上的正则博雷尔测度  可测函数X 中的 可测集,而且 ,那么对任意 X中存在紧致集K,使得 ,而且f限制到K上是连续函数

参考

  • Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.