首先,对每个正整数i,构造紧致集 和在其上的连续函数 ,使得
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且在 上有
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构造方法如下:
将 分成两两不交的博雷尔集 ,使得每个集的直径都小于1/i。函数f可测,所以每个集的原像 是可测集。令 ,则 将X分成两两不交的可测集。
由于 是博雷尔正则测度,且 ,于是 限制到X上是拉东测度。由拉东测度的内正则性,在 中存在紧致子集 ,使得
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所以全部子集 的不交并集的测度
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因为 ,可以取足够大的N使得
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令 。有限个紧致集的并集是紧致集,所以 紧致。因此 满足要求。
对j=1,..., N,在 中任取一点 ,并在 上定义 。
因为在 上,f的值包含在 中,故此f和 相差小于1/i。而 是两两不交的紧致集,故两两间的距离都是正数,所以 在 上是连续函数。因此 满足要求。
取 ,K是紧致集,并有
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函数列 在K上一致收敛到f。一致收敛保持函数的连续性,所以f在K上连续。