简单函数又称单纯函数,(英语:simple function),在数学的实分析中是指值域只有有限个值的实函数,类似阶梯函数。有些作者要求简单函数是可测的,因为在实际应用上,特别在讨论勒贝格积分时,必须是可测函数,要不然积分的定义没有意义。
一个简单函数的基本例子,是半开区间[1,9)上的取整函数,它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。一个更加高级的例子是实直线上的狄利克雷函数,如果x是有理数,则函数的值为1,否则为0。
定义
严格的讲,一个简单函数是可测集合的指示函数的有限线性组合。更加精确地,设(X, Σ)为可测空间。设A1,……,An ∈ Σ 皆为可测集合,并设a1,……,an 皆为实数或复数。简单函数是以下形式的函数:
-
其中 代表集合 A 的指示函数。
性质
根据定义,两个简单函数的和、差与积,以及一个简单函数与常数的积也是简单函数,因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。
在积分的理论的发展中,以下的结果是很重要的。任何非负的可测函数 都会是单调递增的非负简单函数序列的逐点极限。事实上,设 为定义在测度空间 上的非负可测函数。对于每一个 ,我们把 的对应域分成 个区间,其中 个区间长度为 (除了 以外,其他区间长度都为 ) 。让
- 以及
定义可测集合
- ,对于 。
则我们定义简单函数 如下
-
如果对每个 都构造如此的函数 ,则我们得到一组单调递增的简单函数序列 ,
当 时,这序列会逐点收敛至 。
注意如果 是有界的,则序列是一致收敛。
这种用简单函数逼近非负函数 的方法,可以用来定义 的勒贝格积分,因为相对来讲,简单函数的积分很好计算。详情请参阅勒贝格积分。
简单函数的积分
如果一个测度 μ 定义在空间(X,Σ)上,则简单函数 关于 μ 的勒贝格积分是:
-
如果所有的加数都是有限的。
参考文献
- J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
- S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
- W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
- H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.