简单函数

简单函数又称单纯函数,(英语:simple function),在数学的实分析中是指值域只有有限个值的实函数,类似阶梯函数。有些作者要求简单函数是可测的,因为在实际应用上,特别在讨论勒贝格积分时,必须是可测函数,要不然积分的定义没有意义。

一个简单函数的基本例子,是半开区间[1,9)上的取整函数,它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。一个更加高级的例子是实直线上的狄利克雷函数,如果x是有理数,则函数的值为1,否则为0。


定义

严格的讲,一个简单函数是可测集合指示函数的有限线性组合。更加精确地,设(X, Σ)为可测空间。设A1,……,An ∈ Σ 皆为可测集合,并设a1,……,an 皆为实数复数。简单函数是以下形式的函数:

 

其中   代表集合 A指示函数

性质

根据定义,两个简单函数的和、差与积,以及一个简单函数与常数的积也是简单函数,因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

在积分的理论的发展中,以下的结果是很重要的。任何非负的可测函数   都会是单调递增的非负简单函数序列的逐点极限。事实上,设   为定义在测度空间   上的非负可测函数。对于每一个  ,我们把   的对应域分成  个区间,其中   个区间长度为  (除了   以外,其他区间长度都为  ) 。让

  以及 

定义可测集合

 ,对于  

则我们定义简单函数   如下

 

如果对每个   都构造如此的函数  ,则我们得到一组单调递增的简单函数序列  

  时,这序列会逐点收敛至  

注意如果   是有界的,则序列是一致收敛。

这种用简单函数逼近非负函数   的方法,可以用来定义   的勒贝格积分,因为相对来讲,简单函数的积分很好计算。详情请参阅勒贝格积分

简单函数的积分

如果一个测度 μ 定义在空间(X,Σ)上,则简单函数   关于 μ 的勒贝格积分是:

 

如果所有的加数都是有限的。

参考文献

  • J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
  • S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
  • W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
  • H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.