对数正态分布

对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 ${\displaystyle \exp(\mu )}$ ，几何标准差等于 ${\displaystyle \exp(\sigma )}$ 。

如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。

其中几何平均数 ${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )}$ ，几何标准差 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )}$ 

原始矩为：

${\displaystyle \mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$ 

${\displaystyle \mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}}$ 

${\displaystyle \mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}}$ 

${\displaystyle \mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}}$ 

或者更为一般的矩

${\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.}$ 

随机变量 ${\displaystyle X}$  在阈值 ${\displaystyle k}$  上的局部期望定义为

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }(x-k)f(x)\,dx}$ 

其中 ${\displaystyle f(x)}$  是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为

${\displaystyle g(k)=\exp(\mu +\sigma ^{2}/2)\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu +\sigma ^{2}}{\sigma }}\right)-k\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu }{\sigma }}\right)}$ 

其中 ${\displaystyle \Phi }$  是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用，著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。

为了确定对数正态分布参数 ${\displaystyle \mu }$  与 ${\displaystyle \sigma }$  的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看

${\displaystyle f_{L}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x}}\,f_{N}(\ln x;\mu ,\sigma )}$ 

其中用 ${\displaystyle f_{L}(\cdot )}$  表示对数正态分布的概率密度函数，用 ${\displaystyle f_{N}(\cdot )}$ — 表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{L}(\mu ,\sigma |x_{1},x_{2},...,x_{n})&=&-\sum _{k}\ln x_{k}+\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})=\\\\\ &=&\operatorname {constant} +\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).\end{matrix}}}$ 

由于第一项相对于 ${\displaystyle \mu }$  与 ${\displaystyle \sigma }$  来说是常数，两个对数最大似然函数 ${\displaystyle \ell _{L}}$  与 ${\displaystyle \ell _{N}}$  在同样的 ${\displaystyle \mu }$  与 ${\displaystyle \sigma }$  处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\ {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.}$ 

• 如果 ${\displaystyle Y=\ln(X)}$  与 ${\displaystyle X\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ，则 ${\displaystyle Y\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$  是正态分布。
• 如果 ${\displaystyle X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m={\overline {1...n}}}$  是有同样 ${\displaystyle \mu }$  参数、而 ${\displaystyle \sigma }$  可能不同的统计独立对数正态分布变量 ，并且 ${\displaystyle Y=\prod _{m=1}^{n}X_{m}}$ ，则 ${\displaystyle Y}$  也是对数正态分布变量：${\displaystyle Y\sim \operatorname {Log-N} \left(n\mu ,\sum _{m=1}^{n}\sigma _{m}^{2}\right)}$ 。

• Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994.

• 对数正态分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
• Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues （页面存档备份，存于互联网档案馆）, E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
• 对数正态分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4
• Eric W. Weisstein et al. 对数正态分布 （页面存档备份，存于互联网档案馆） at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造访.

• 几何平均数
• 几何标准差
• 误差函数