快乐数

快乐数有以下的特性:在给定的进位制下,该数字所有数字(英语:digits)的平方和,得到的新数再次求所有数字的平方和,如此重复进行,最终结果必为1。

以十进制为例:

2 8 →
3 2 →
3 7 →
5 6 →

因此28和32是快乐数,而在37和56的计算过程中,数字会重复出现,继续计算的结果只会是上述数字的循环(不快乐数循环),不会出现1,因此37和56不是快乐数。

不是快乐数的数称为不快乐数(英语:unhappy number),所有不快乐数的数字平方和计算,最后都会进入 41637588914542204 的循环中。

在十进制下,100以内的快乐数有(OEIS数列A007770):1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100,共20个。

快乐数表格

以下是小于100的快乐数表格,绿色数字表示它是快乐数,红色数字表示它是不快乐数循环

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

以下是100到小于200的快乐数表格,绿色数字表示它是快乐数,红色数字表示它是不快乐数循环

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109
110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129
130 131 132 133 134 135 136 137 138 139
140 141 142 143 144 145 146 147 148 149
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159
160 161 162 163 164 165 166 167 168 169
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189
190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

以下是200到小于300的快乐数表格,绿色数字表示它是快乐数。

200 201 202 203 204 205 206 207 208 209
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219
220 221 222 223 224 225 226 227 228 229
230 231 232 233 234 235 236 237 238 239
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249
250 251 252 253 254 255 256 257 258 259
260 261 262 263 264 265 266 267 268 269
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279
280 281 282 283 284 285 286 287 288 289
290 291 292 293 294 295 296 297 298 299

300以内的快乐数没有其中一位是5,300以内的数其中有一位是5,它一定不是快乐数。

以下是300到小于400的快乐数表格,绿色数字表示它是快乐数。

300 301 302 303 304 305 306 307 308 309
310 311 312 313 314 315 316 317 318 319
320 321 322 323 324 325 326 327 328 329
330 331 332 333 334 335 336 337 338 339
340 341 342 343 344 345 346 347 348 349
350 351 352 353 354 355 356 357 358 359
360 361 362 363 364 365 366 367 368 369
370 371 372 373 374 375 376 377 378 379
380 381 382 383 384 385 386 387 388 389
390 391 392 393 394 395 396 397 398 399

发现10*10、100*100等表格的快乐数表格有线对称

快乐数的约数

以下是300以内的快乐数约数

快乐数 约数 约数个数 奇偶数 数字和
1 1 1 奇数 1
7 1、7 2 奇数 7
10 1、2、5、10 4 偶数 1
13 1、13 2 奇数 4
19 1、19 2 奇数 10
23 1、23 2 奇数 5
28 1、2、4、7、14、28 6 偶数 10
31 1、31 2 奇数 4
32 1、2、4、8、16、32 6 偶数 5
44 1、2、4、11、22、44 6 偶数 8
49 1、7、49 3 奇数 13
68 1、2、4、17、34、68 6 偶数 14
70 1、2、5、7、10、14、35、70 8 偶数 7
79 1、79 2 奇数 16
82 1、2、41、82 4 偶数 10
86 1、2、43、86 4 偶数 14
91 1、7、13、91 4 奇数 10
94 1、2、47、94 4 偶数 13
97 1、97 2 奇数 16
100 1、2、4、5、10、20、25、50、100 9 偶数 1
103 1、103 2 奇数 4
109 1、109 2 奇数 10
129 1、3、43、129 4 奇数 12
130 1、2、5、10、13、26、65、130 8 偶数 4
133 1、7、19、133 4 奇数 7
139 1、139 2 奇数 13
167 1、167 2 奇数 14
176 1、2、4、8、11、16、22、44、88、176 10 偶数 14
188 1、2、4、47、94、188 6 偶数 17
190 1、2、5、10、19、38、95、190 8 偶数 10
192 1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192 14 偶数 12
193 1、193 2 奇数 13
203 1、7、29、203 4 奇数 5
208 1、2、4、8、13、16、26、52、104、208 10 偶数 10
219 1、3、73、219 4 奇数 12
226 1、2、113、226 4 偶数 10
230 1、2、5、10、23、46、115、230 8 偶数 5
236 1、2、4、59、118、236 6 偶数 11
239 1、239 2 奇数 14
262 1、2、131、262 4 偶数 10
263 1、263 2 奇数 11
280 1、2、4、5、7、8、10、14、20、28、35、40、56、70、140、280 16 偶数 10
291 1、3、97、291 4 奇数 12
293 1、293 2 奇数 14

由表格可知:

  • 128以内快乐数没有约数3、6、9等数,如果128以内的数是3的倍数等,它一定不是快乐数。
  • 1000以内快乐数没有约数9、15、18、21等数,如果1000以内的数是9的倍数等,它一定不是快乐数。
  • 1000以内快乐数同样也没有能被25整除但不能被100整除,即尾数是(25、50或75的数),如果1000以内的数是25的倍数但不是100的倍数,它一定不是快乐数。
  • 1000以内的快乐数有143个,只有7个是3的倍数,129192219291、888、912、921,概率:5%。
  • 1000以内的快乐数有143个,有其中一位是5的只有12个,356365536556、563、565、566、635、653、655、656、665,概率:8%。
  • 1000以内的快乐数有143个,只有3个是25的倍数,1007001000概率:2%。

快乐素数

在十进制下,300以内的快乐素数有(OEIS数列A035497):7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293,共15个。

快乐完全数

已知的51个完全数,只有3个是快乐数:284968128

其他进制的快乐数

  • 三进制:1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 (OEIS数列A239320
  • 五进制:1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 (OEIS数列A240849
  • 任何进制(最小快乐数且大于1):2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72

OEIS数列A161871

其他进制的不快乐数循环

2进制 每个数都是快乐数

3进制 2 →11 →2 written in base 10: 2 →4 →2

4进制 每个数都是快乐数

5进制 4 →31 →20 →4 23 →23 written in base 10: 4 →16 →10 →4 13 →13

6进制 5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 written in base 10: 5 → 25→ 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5

7进制 2 →4 →22 →11 →2 34 →34 written in base 10: 2 →4 →16 →8 →2 25 →25

8进制 4 → 20 → 4 5 → 31 → 12 → 5 32 → 15 → 32 written in base 10: 4 → 16 → 4 5 → 25 → 10 → 5 26 → 13 → 26

9进制 58 →108 →72 →58 55→55 written in base 10: 53→89→65→53 50→50

10进制 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4

11进制 75 →68 →91 →75 23 →12 →5 →23 written in base 10: 82→74→100→82 25→13→5→25

12进制 22→8 →54 →35 →2A →88 →A8 →118 →56 →51 →22 21 →5 →21 written in base 10: 26 →8 →64 →41 →34 →104 →128 →164 →66 →61 →26 25 →5 →25

13进制 79 →A0 →79 36 →36 B2 →98 →B2 67 →67 14 →14 written in base 10: 100 →130 →100 45→45 145→125→145 85→85 17→17

16进制 D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D written in base 10: 13→169→181→146→85→50→13

其他性质

  • 快乐数加入数字0或交换的数也是快乐数,不快乐数的情况也是。例如:49是快乐数,94、4900也是快乐数;123不是快乐数,321、10203、123000也不是快乐数
  • 通过检查十进制中前一百万个快乐数,它们的自然密度似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577,下限小于0.1138。[1]
  • 十进制不快乐数的循环只有一个,是 41637588914542204

Python代码

#ishappy number

def ishappy(n):
    a = []
    while n not in a:
        a.append(n)
        n = sum([int(x) **2 for x in str(n)])
        
    return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'

相关条目

外部链接

  1. ^ Gilmer, Justin. On the Density of Happy Numbers. Integers. 2013, 13 (2): 2. Bibcode:2011arXiv1110.3836G. arXiv:1110.3836 .