自然密度

以平方数集和自然数集的大小关系为例：

平方数集与自然数集都是可数无穷集，我们能够在两个集合间建立一一映射（对于任意的自然数${\displaystyle n}$ 都可以找到对应的平方数${\displaystyle n^{2}}$ 与之对应，反之亦然），即两个集合是等势的。

然而，这种基于基数的大小比较违反了自然数多于平方数的直观认识，因为所有平方数都是自然数，而却有许多自然数不是平方数，且随着自然数的增大平方数会变得越来越稀少。通过将这种度量集合大小的直觉严格化，可以得到自然密度这一概念。

考虑自然数的一个子集${\displaystyle A}$ 和整数区间${\displaystyle [1,n]}$ ：

如果从整数区间${\displaystyle [1,n]}$ 中随机选取一个整数，那么这个整数属于${\displaystyle A}$ 的概率应该等于${\displaystyle A}$ 与整数区间${\displaystyle [1,n]}$ 的交集中的所有元素在整数区间${\displaystyle [1,n]}$ 中的占比。当${\displaystyle n}$ 趋近于无穷时，若上述概率也趋近于某个极限，则将该极限定义为${\displaystyle A}$ 的自然密度。

${\displaystyle A}$ 的自然密度也可以被理解为：任取一个自然数，该自然数属于${\displaystyle A}$ 的概率。

自然密度（以及一些其他类型的密度）也是概率数论（英语：Probabilistic number theory）的研究对象。

与施尼勒尔曼密度不同，并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。

对于一个自然数集的子集${\displaystyle A}$ ，当${\displaystyle n}$ 趋向于无穷时，若${\displaystyle A}$ 中不大于${\displaystyle n}$ 的元素个数与${\displaystyle n}$ 的比值收敛到${\displaystyle \alpha }$ ，则称${\displaystyle A}$ 的自然密度为${\displaystyle \alpha }$ 。

更进一步，若定义${\displaystyle a(n)}$ 为${\displaystyle A}$ 里不大于${\displaystyle n}$ 的元素个数，那么命题“${\displaystyle A}$ 的自然密度为${\displaystyle \alpha }$ ”等效于：

${\displaystyle {\frac {a(n)}{n}}\to \alpha }$ ，当${\displaystyle n\to \infty }$ ^[1]

从定义中可以看出，若${\displaystyle \alpha }$ 是某个集合${\displaystyle A}$ 的自然密度，则一定有${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}$ 。

上自然密度

设${\displaystyle A}$  是自然数集${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}$ 的一个子集。对任何${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，定义${\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A}$ ，${\displaystyle a(n)=|A(n)|}$ 。

则${\displaystyle A}$ 的上自然密度（英语：upper asymptotic density）为：

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$ 

其中${\displaystyle \limsup }$ 是上极限。 ${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$ 也可简称为${\displaystyle A}$ 的上密度。 

下自然密度

同样地，定义A的下自然密度（英语：lower asymptotic density）为：

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$ 

自然密度的其他定义方法

1. 由上自然密度和下自然密度的定义，我们也可以说${\displaystyle A}$ 的自然密度${\displaystyle d(A)}$ 是：

若${\displaystyle {\overline {d}}(A)={\underline {d}}(A)}$ ，则${\displaystyle d(A)}$ 等于${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$ （或${\displaystyle {\underline {d}}(A)}$  ） 。

2. 自然密度的定义还可以表示为：

${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$ （若极限存在）^[2]

3. 可以证明，下述命题也是自然密度的定义：

若将自然数集${\displaystyle \mathbb {N} }$ 的子集${\displaystyle A}$ 写作一个递增数列：

${\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots ;n\in \mathbb {N} \}}$ 

那么

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},}$ 

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$ 

${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$ （若极限存在）

推广

一个稍弱的密度定义是 上Banach密度（英语：upper Banach density）。对于${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ ，定义${\displaystyle d^{*}(A)}$ 为：

${\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}}$ 

• 若对于集合${\displaystyle A}$ 存在${\displaystyle d(A)}$ ，则对于其补集${\displaystyle A^{\complement }}$ ，${\displaystyle d(A^{\complement })=1-d(A)}$ 成立。
• 若${\displaystyle d(A)}$ ，${\displaystyle d(B)}$ 及${\displaystyle d(A\cup B)}$ 均存在，则${\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}}$ 成立。
• 自然数集的自然密度为${\displaystyle 1}$ ，即${\displaystyle d(\mathbb {N} )=1}$ 成立。
• 对于自然数集的任意有限子集${\displaystyle F}$ , 有${\displaystyle d(F)=0}$ 成立。
• 对于平方数集${\displaystyle A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}}$ ，有${\displaystyle d(A)=0}$ 成立。
• 对于偶数集${\displaystyle A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}}$ ，有${\displaystyle d(A)=0.5}$ 成立。更一般地，对于等差级数组成的集合${\displaystyle A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}}$ ，有${\displaystyle d(A)={\frac {1}{a}}}$ 成立。
• 对于质数集合${\displaystyle P}$ ，由质数定理知：${\displaystyle d(P)=0}$ 成立。
• 无平方数因数的数的集合的自然密度为${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}}$ 。更一般地，无${\displaystyle n}$ 次方因数的数的集合的自然密度为${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (n)}}}$ ，其中${\displaystyle \zeta (n)}$ 是黎曼ζ函数。
• 过剩数集合具有非零的自然密度^[3]。Marc Deléglise在1998年证明了过剩数和完全数的集合的自然密度在0.2474与0.2480之间^[4]。
• 所有在二进制表示法中位数为奇数的自然数的集合，即${\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\}}$ ，不存在自然密度。这是因为该集合的上自然密度不等于下自然密度。

其上自然密度为：

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}}$ 

而其下自然密度为：

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}}$ 

• 同样，所有十进制表示法中以${\displaystyle 1}$ 开头的自然数的集合也不具有自然密度。其上自然密度为${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$ 而其下自然密度为${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$ 。^[1]
• 对区间[0,1]上的任意Equidistributed序列（英语：equidistributed sequence）${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ，定义单调集族${\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}$ :

${\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha _{n}<x\}}$ 

则依定义有：

对于任意的${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle d(A_{x})=x}$ 。

• 若${\displaystyle S}$ 有正的上自然密度，则塞迈雷迪定理（英语：Szemerédi's theorem）表明${\displaystyle S}$ 包含了任意长度的等差数列。Furstenberg–Sárközy定理（英语：Furstenberg–Sárközy theorem）表明，${\displaystyle S}$ 内一定存在差为平方数的两个元素。

用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。 例如，集合${\displaystyle A}$ 的对数密度（英语：logarithmic density）可以定义为：

${\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}}$ （若极限存在）

同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。

• 狄利克雷密度（英语：Dirichlet density）
• 施尼勒尔曼密度

• Nathanson, Melvyn B. Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. Springer-Verlag. 2000. ISBN 0387989129. Zbl 0953.11002. 
• Niven, Ivan. The asymptotic density of sequences. Bulletin of the American Mathematical Society. 1951, 57: 420–434 [2018-10-18]. MR 0044561. Zbl 0044.03603. doi:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9. （原始内容存档于2020-08-21）. 
• Steuding, Jörn. Probabilistic number theory (PDF). 2002 [2014-11-16]. （原始内容 (PDF)存档于December 22, 2011）. 
• Tenenbaum, Gérald. Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46. Cambridge University Press. 1995. Zbl 0831.11001.