过剩数

一般定义

一般而言，过剩数是指使得函数 ${\displaystyle s(n)>n}$  的正整数 ${\displaystyle n}$ ，其中 ${\displaystyle s(n)}$  指的是 ${\displaystyle n}$  的真约数之和；${\displaystyle s(n)-n}$  称作 ${\displaystyle n}$  的盈度或丰度。

例如，12除本身外的所有正约数为1、 2、 3、 4和6，由于 ${\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}=16}$ ，且 ${\displaystyle 16>12}$ ，因此12为过剩数，且12的丰度为 ${\displaystyle {{16}-{12}}=4}$ 。

严格定义

更为严格地说，过剩数是指使得函数 ${\displaystyle \sigma _{1}(n)>2n}$  的正整数 ${\displaystyle n}$ ，其中 ${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$  指的是 ${\displaystyle n}$  的所有正因数（包括 ${\displaystyle n}$ ）之和；${\displaystyle \sigma _{1}(n)-2n}$  称作 ${\displaystyle n}$  的盈度或丰度。

在这种定义下，12的正约数有1、 2、 3、 4、 6和12，由于 ${\displaystyle {{{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}+{12}}=28}$ ，且 ${\displaystyle 28>12\times 2}$ ，因此12为过剩数，且12的丰度为 ${\displaystyle {{28}-{{12}\times {2}}}=4}$ 。

• 最小的偶过剩数构成数列（OEIS数列A005101）：

12、 18、 20、 24、 30、 36、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 72、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 100、 102 ……

• 最小的奇过剩数构成数列（OEIS数列A005231）：

945、 1575、 2205、 2835、 3465、 4095、 4725、 5355、 5775、 5985、 6435、 6615、 6825、 7245、 7425、 7875 ……

• 不能被2和3整除的最小过剩数是 5391411025，其素因数有 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23 和 29（OEIS数列A047802）。
• 亚努奇（Iannucci）在2005年给出了一个寻找不能被前 ${\displaystyle k}$  个素数整除的最小过剩数的算法^[1]：若 ${\displaystyle A(k)}$  表示不能被前 ${\displaystyle k}$  个素数整除的最小过剩数，则当 ${\displaystyle k}$  足够大时，对所有的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，有

${\displaystyle (1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }}$ 

• 除了完全数本身，完全数的倍数都是过剩数^[3]。例如，每个大于6之6的倍数都是过剩数，因为 ${\displaystyle 1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1}$ 。
• 过剩数的倍数都是过剩数^[3]。例如，20是过剩数，20及其倍数也都是过剩数，因为 ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}}$ 。
• 由于完全数的倍数都是过剩数，过剩数的倍数也都是过剩数^[3]，因此奇数和偶数的过剩数都有无限多个。

• 过剩数的集合具有非零的自然密度^[4]，1998年 Marc Deléglise 证明了过剩数在自然数中的自然密度介于 0.2474 与 0.2480 之间^[5]。
• 若一个过剩数不是完全数或其他过剩数的倍数，则这个数称为本原过剩数^[6][7]。
• 若一个过剩数的丰度超过所有小于该数的过剩数的丰度，则这个过剩数称为高过剩数。
• 若一个过剩数的相对丰度 ${\displaystyle {\frac {s\left(n\right)}{n}}}$  超过所有小于该数的过剩数的丰度，则这个过剩数称为超过剩数。
• 每个大于 20161 的整数都可以写成两个过剩数之和^[8]。
• 不是半完全数的过剩数称为奇异数^[9][2]:144。
• 丰度为1的过剩数称为准完全数，然而目前尚未找到准完全数^[10]。

• 与过剩数相关的概念是完全数（真约数和等于本身，即 ${\displaystyle s(n)=n}$  或 ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$ ）和亏数（真约数和小于本身，即 ${\displaystyle s(n)<n}$  或 ${\displaystyle \sigma _{1}(n)<2n}$ ）。最早将自然数分为过剩数、完美数和亏数的是 Nicomachus 于公元前100年所著的 Introductio Arithmetica。
• ${\displaystyle n}$  的丰度指数（过过剩指数）是指约数和与自身的比，即 ${\displaystyle {\frac {\sigma _{1}\left(n\right)}{n}}}$ ^[11]；若一组相异的数 ${\displaystyle n_{1},n_{2},...}$ （无论是否为过剩数）拥有相同的丰度指数，则这些数互为友谊数。
• 记 ${\displaystyle k}$  变化时，满足 ${\displaystyle \sigma _{1}\left(n\right)>kn}$  的最小自然数 ${\displaystyle n}$  构成数列 ${\displaystyle a_{k}}$ （OEIS数列A134716），则 ${\displaystyle a_{2}=12}$ ，为第一个过剩数^[12]。${\displaystyle a_{k}}$  是一个增长速度很快的数列。
• 丰度指数超过3的最小奇数为 ${\displaystyle 1018976683725=}$  ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{3}\times 5^{2}\times 7^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29}$ ^[13]。

• 高合成数
• 完全数
• 婚约数
• 亲和数
• 亏数
• 梅森素数
• 半完全数
• 佩服数