友谊数

未解决的数学问题存在无限多个正整数,其因数函数除以自身的比值均相等吗? Question mark2.svg

数论中,友谊数是指二个正整数m和n满足σ(m)/m = σ(n)/n的关系,其中σ(n)是因数函数,则称它们是朋友,此二个整数互为友谊数。

例如(1+2+4+5+8+10+16+20+40+80)/80 = (1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+200)/200 = 93/40,因此80200都是友谊数。

友谊数为传递关系,若m和n为友谊数,n和p为友谊数,则m和p必为友谊数。

所有的已知的友谊数有6, 12, 24, 28, 30, ...(OEISA074902,按σ(n)/n相同的组对排列:OEISA050973OEISA050973

确定不是友谊数的数即为孤独数。但有些数尚未能证明它是否为孤独数,例如10。

大的友谊数群

若三个或三个以上的正整数,其因数函数除以自身的比值相等,则这些正整数形成友谊数群(friendly number club)。换言之,友谊数群是友谊数关系的等价类。目前还不知道是否有由无限多个正整数组成的友谊数群。完全数的因数函数为自身的2倍,因此所有完全数形成一个友谊数群,推测应该会有无限多个完全数(至少会和梅森质数的个数一样多),但尚未被证明。

孤独数

未解决的数学问题10是孤独数吗?  

不与其他数组成友谊数对的正整数称为孤独数solitary number)。

所有满足( n, σ(n) ) = 1的n A014567)都是孤独数,因此所有质数都是孤独数。n, σ(n)非互质的孤独数已知有18, 45, 48, ... ( A095739)。10, 14, 15, 20等数未能证明它是否孤独数。