友谊数
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未解决的数学问题:存在无限多个正整数,其因数函数除以自身的比值均相等吗? |
在数论中,友谊数是指二个正整数m和n满足σ(m)/m = σ(n)/n的关系,其中σ(n)是因数函数,则称它们是朋友,此二个整数互为友谊数。
例如(1+2+4+5+8+10+16+20+40+80)/80 = (1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+200)/200 = 93/40,因此80和200都是友谊数。
友谊数为传递关系,若m和n为友谊数,n和p为友谊数,则m和p必为友谊数。
所有的已知的友谊数有6, 12, 24, 28, 30, ...( A074902,按σ(n)/n相同的组对排列: A050973、 A050973)
确定不是友谊数的数即为孤独数。但有些数尚未能证明它是否为孤独数,例如10。
大的友谊数群
若三个或三个以上的正整数,其因数函数除以自身的比值相等,则这些正整数形成友谊数群(friendly number club)。换言之,友谊数群是友谊数关系的等价类。目前还不知道是否有由无限多个正整数组成的友谊数群。完全数的因数函数为自身的2倍,因此所有完全数形成一个友谊数群,推测应该会有无限多个完全数(至少会和梅森质数的个数一样多),但尚未被证明。
孤独数
未解决的数学问题:10是孤独数吗? |
不与其他数组成友谊数对的正整数称为孤独数(solitary number)。
所有满足( n, σ(n) ) = 1的n( A014567)都是孤独数,因此所有质数幂都是孤独数。n, σ(n)非互质的孤独数已知有18, 45, 48, ... ( A095739)。10, 14, 15, 20等数未能证明它是否孤独数。