度规函数
度规函数是数学凸分析的一个重要函数。设为或上的向量空间,有需要时可以假设为拓扑向量空间。设为在内的凸集,且包含原点。那么的度规函数是从到的函数,定义为
- ,
如果为空集,定义。
从定义立刻得到以下结果,可以进一步说明度规函数:
性质
凸性
度规函数符合次加性,因此是凸函数。
只取有限值的条件
包含 的凸集 的度规函数不取 ,当且仅当 是吸收的。
同样地可立刻看出这条件当 是 的内点时成立。易证逆命题在有限维时成立:简洁做法是看到 既是有限值和处处定义的凸函数,因而 连续,故此 包含在 内且是 的邻域。
当 是在 的内部时,可以想像这样一幅图画:函数取值1的点正好是凸集 的边界,其他正数值的水平面是其位似形。如果有不在任一个水平面上的点,函数在该点取值为 。
最后再补充一点。在实向量空间时, 相对 点对称,其度规函数避开 值,这度规函数便是半范数;在复向量空间也有同样结论,只需把对称的定义,修改为与任何模为1的复数相乘都不变。
原点外不取0值的条件
从定义看出度规函数在原点外一点 取 值,当且仅当从原点过 的射线包含在凸集内。
因此立刻可知在赋范向量空间内,有界凸集的度规函数不在原点外取 值。
逆命题对有限维空间内的闭凸集成立,用半径为1的球面的紧致性证明。
设 为在有限维空间内包含 的闭凸集。 有界当且仅当其度规函数除原点外不取 值。
用途
- 在拓扑向量空间理论,引入一族适合的度规函数,便能够以半范数描绘局部凸空间的特性。
参考书目
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty and Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001, ISBN 3540422056, p. 128-130