分岔理论

分岔理论或分歧理论（bifurcation theory）是数学中研究一群曲线在本质或是拓扑结构上的改变。一群曲线可能是向量场内的积分曲线（英语：Integral curve），也可能是一群类似微分方程的解。

鞍结分岔（英语：Saddle-node bifurcation）的相图

分岔（bifurcation）常出现在动态系统的数学研究中，是指系统参数（分岔参数）小而连续的变化，结果造成系统本质或是拓扑结构的突然改变^[1]。分岔会出现在连续系统（以常微分方程、时滞微分方程或偏微分方程来描述）或是离散系统中（以映射来描述）。

bifurcation一词最早是由儒勒·昂利·庞加莱在1885年的论文中提出，这也是第一篇提到类似特性的数学论文^[2]，庞加莱后来也为许多不同的驻点命名而且分类。

分岔类型

分岔可以分为以下的二种类型：

局部分岔（Local bifurcations）是指分岔特性可以用局部稳定性完全分析的分岔，一般会用参数通过临界值时，平衡点、周期性轨迹或其他固定点的局部稳定性。
全域分岔（Global bifurcations）是指分岔特性无法用局部稳定性完全分析的分岔，一般是指较大的不变集彼此重叠，或是和系统的平衡点重叠，这无法只靠平衡点的稳定性分析来求得。

局部分岔

逐渐变成有序的周期对半分岔（L），之后是逐渐变成混沌的周期加倍分岔（R）

局部分岔是指因参数变化，因此改变平衡点（或是不动点）稳定性的情形，对应平衡点特征值的实部由正变负或是由负变正，在离散系统中（会由映射描述），是指不动点其弗洛凯乘子的模为1。这二种情形下，平衡点在分岔时都是非双曲线的。

局部分岔有一个特性，只要控制分岔参数，可以将系统相图中的拓朴变化限制在分岔点附近任意小的区域中，因此称为局部分岔。

考虑用以下常微分方程描述的连续动态系统

{\dot {x}}=f(x,\lambda )\quad f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}.

若在 $(x_{0},\lambda _{0})$ 位置的雅可比矩阵 ${\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}$ 有实部为0的特征值，表示在此点有局部分岔。若特征值为0，表示此分岔为稳态的分岔，但若特征值为虚数，表示是霍普夫分岔。

若是离散系统

x_{n+1}=f(x_{n},\lambda )\,.

若在 $(x_{0},\lambda _{0})$ 的矩阵 ${\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}$ 有模数为1的特征值，表示有局部分岔。若特征值等于1，分岔可能是鞍结分岔（英语：saddle-node bifurcation）、跨临界分岔（英语：transcritical bifurcation）或叉式分岔（英语：pitchfork bifurcation），若特征值等于-1，表示是周期加倍分岔（英语：period-doubling bifurcation），否则则为霍普夫分岔。

局部分岔的例子有：

鞍结分岔（英语：saddle-node bifurcation）（fold分岔）
跨临界分岔（英语：transcritical bifurcation）
叉式分岔（英语：pitchfork bifurcation）
周期加倍分岔（英语：period-doubling bifurcation）（flip分岔）
霍普夫分岔
Neimark–Sacker分岔（二次霍普夫分岔）

全域分岔

全域分岔是指较大的不变集（如周期性轨迹）和平衡点重叠。全域分岔也会改变相图上的拓朴，而且其变化不会像局部分岔一様限制在一个小区域，因此称为全域分岔。

全域分岔的例子有：

同宿分岔（英语：Homoclinic bifurcation）是指极限环和一个鞍点重叠。
异宿分岔（英语：Heteroclinic bifurcation）是指极限环和二个或多个鞍点重叠。
无限周期分岔（英语：Infinite-period bifurcation）是指在极限环上有稳定节点和鞍点同时出现。
蓝天突变（英语：Blue sky catastrophe）是指极限环和一个nonhyperbolic cycle重叠。

全域分岔有时会和像奇异吸引子之间更复杂的结构有关，如一种称为危机（英语：Crisis (dynamical systems)）的现象就是指当动态系统的参数变化时，奇异吸引子突然出现或是突然消失。

分岔的余维数

分岔的余维数是指动态系统中需变动几个参数，才会使分岔现象出现。鞍结分岔及霍普夫分岔是常见的局部分岔中，实际余维数为1的二个分岔（其他分岔的余维数都大于1）。不过跨临界分岔及叉式分岔的正规式可以写成只有一个参数的形式，因此也可以视为余维数为1的分岔。

Bogdanov-Takens分岔（英语：Bogdanov–Takens bifurcation）是一个有较多研究，余维数为2分岔的一个例子。

在半经典力学及量子力学上的应用

分岔理论已用在连结量子系统及经典力学系统的动态中，可以用在原子系统^[3]^[4]^[5]、分子系统^[6]及谐振隧穿二极管^[7]。分岔理论已用到激光动力学^[8]的研究中，也用在许多在实验上难以处理的理论例子中，例如kicked top^[9]及耦合量子阱^[10]。将量子系统及古典力学运动方程中分岔相连结的主要原因是在分岔时，古典力学轨道的signature会变大，正如Martin Gutzwiller（英语：Martin Gutzwiller）在有关量子混沌（英语：quantum chaos）中的研究所提出的一样^[11]^[12]。许多分岔都研究来连结古典力学和量子力学，像是鞍结分岔、霍普夫分岔、umbilic分岔、周期加倍分岔、重新连接分叉（reconnection bifurcation）、切线分叉（tangent bifurcation）及尖分叉（cusp bifurcation）。

参考资料

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外部链接

分枝现象与理论（页面存档备份，存于互联网档案馆）,台湾中央研究院数学所
Nonlinear dynamics
Bifurcations and Two Dimensional Flows （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Elmer G. Wiens
Introduction to Bifurcation theory by John David Crawford

[1] Blanchard, P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. Differential Equations. London: Thompson. 2006: 96–111. ISBN 0-495-01265-3.

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[10] Galan, J.; Freire, E. Chaos in a Mean Field Model of Coupled Quantum Wells; Bifurcations of Periodic Orbits in a Symmetric Hamiltonian System. Reports on Mathematical Physics. 1999, 44 (1–2): 87–94. Bibcode:1999RpMP...44...87G. doi:10.1016/S0034-4877(99)80148-7.

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