莱恩－埃姆登方程

在物理学上，流体静力平衡与势能梯度、密度和压力梯度相关，而泊松方程则可以是势能和密度的关系式。因此如果有一个方程可以进一步指出压力和密度如何互相反映，就可以得到一个解。以上多方气体的特定选项在数学上陈述了这个问题，尤其是该陈述特别简洁并推导出了莱恩－埃姆登方程。这个方程对于恒星等自引力势能气体球是相当有用的近似，但它的假设通常是受到限制。

以流体静力平衡推导

考虑到自引力势能、流体静力平衡下的球对称流体、质量守恒这些状况，就可使用以下连续性方程：

${\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }$ 

这里 ${\displaystyle \rho }$  是 ${\displaystyle r}$  的函数。流体静力平衡的公式成为：

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}}$ 

${\displaystyle m}$  也是 ${\displaystyle r}$  的公式。再一次求导数可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}}$ 

这里已经使用一个连续性方程取代质量梯度。再将方程两侧乘上 ${\displaystyle r^{2}}$ ，并将带有 ${\displaystyle P}$  的导数的项置于左侧，方程成为：

${\displaystyle r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho }$ 

方程两侧除以 ${\displaystyle r^{2}}$ ，在某些意义上这是一维形式所需的方程。此外，如果我们以多变方程 ${\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}}$  和 ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$  代入，可得到：

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}}$ 

将常数聚集并以 ${\displaystyle r=\alpha \xi }$  取代：

${\displaystyle \alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G}$ ,

最后得到莱恩－埃姆登方程：

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}$ 

以泊松方程推导

同样地，也可以使用泊松方程进行推导：

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}}\right)=-4\pi G\rho }$ 

我们可以透过以下数学公式以流体静力平衡取代势能梯度：

${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}}$ 

最后也可以得到莱恩－埃姆登方程。

解析解

${\displaystyle n}$  只在3个值时有解析解

${\displaystyle n=0}$ 

如果 ${\displaystyle n=0}$ ，方程成为：

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+1=0}$ 

重新整理并进行一次积分后的公式成为：

${\displaystyle \xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}}$ 

公式两侧都除以 ${\displaystyle \xi ^{2}}$ ，并且再积分一次后得到：

${\displaystyle \theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}$ 

边界条件 ${\displaystyle \theta (0)=1}$  和 ${\displaystyle \theta '(0)=0}$  暗示积分常数是 ${\displaystyle C_{0}=1}$  和 ${\displaystyle C_{1}=0}$ 。

${\displaystyle n=1}$ 

当 ${\displaystyle n=1}$ ，方程可展开如下：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0}$ 

两端都乘以 ${\displaystyle \xi ^{2}}$  可得到 ${\displaystyle k=1}$  和 ${\displaystyle n=0}$  的球贝索函数。套用了边界条件以后的解将是：

${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}}$ 

${\displaystyle n=5}$ 

在经过一连串取代的步骤后，方程可以有进一步的解：

${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}}$ 

当 ${\displaystyle n=5}$ ，方程的解将是循着径向的无限大值。

数值解

一般情形下莱恩－埃姆登方程的解必须以数值积分方式求得。许多数值积分的标准解法要求该问题必须以一阶常微分方程表示，例如：

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\phi }{\xi ^{2}}}}$ 

${\displaystyle {\frac {d\phi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}}$ 

在这里 ${\displaystyle \phi (\xi )}$  被视为无量纲质量，而质量可使用 ${\displaystyle m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\phi (\xi )}$  表示。相关的边界条件是 ${\displaystyle \phi (0)=0}$  和 ${\displaystyle \theta (0)=1}$ 。第一个方程表现了流体静力平衡，而第二个方程则表示质量守恒。

同调不变方程

已知如果 ${\displaystyle \theta (\xi )}$  是莱恩－埃姆登方程的解，那么完整的解方程将是 ${\displaystyle C^{2/n+1}\theta (C\xi )}$ ^[1]。和这方式相关的解则称为“同调”，而变换的过程是同调性的。如果我们选择不变的变量达到同调性，就可以将莱恩－埃姆登方程降一阶计算。

而这类可选择的变量有多个，一个适当的选择是：

${\displaystyle U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\phi }}}$ 

和

${\displaystyle V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\phi }{\xi \theta }}}$ 

我们可以将相对于 ${\displaystyle \xi }$  的变量的对数微分，得到：

${\displaystyle {\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(3-n(n+1)^{-1}V-U)}$ 

和

${\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(-1+U+(n+1)^{-1}V)}$ .

最后，我们将以上两个方程相除以消去因变量 ${\displaystyle \xi }$ ，留下：

${\displaystyle {\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right)}$ 

以上即为单一一阶方程。

拓扑结构不变的同调方程

同调性不变的方程可被视为自主对方程：

${\displaystyle {\frac {dU}{d\log \xi }}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)}$ 

和

${\displaystyle {\frac {dV}{d\log \xi }}=V(U+(n+1)^{-1}V-1)}$ 

这些方程的解的形式可透过以下线性稳定性分析来决定。方程的临界点（当 ${\displaystyle dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0}$ ）和雅可比矩阵的特征值、特征向量如下表所示^[2]：

• 恒星结构
• 埃姆登－钱德拉塞卡方程（英语：Emden–Chandrasekhar equation）
• 钱德拉塞卡白矮星方程（英语：Chandrasekhar's white dwarf equation）

• Lane, Jonathan Homer, On the Theoretical Temperature of the Sun under the Hypothesis of a Gaseous Mass Maintaining its Volume by its Internal Heat and Depending on the Laws of Gases Known to Terrestrial Experiment, The American Journal of Science and Arts, 2nd series, 1870, 50: 57–74 .

• 埃里克·韦斯坦因. Lane-Emden Differential Equation. MathWorld. 
• Horedt, George Paul ( 1986 ) 'Seven-digit tables of Lane-Emden functions' PDF ( 5.9MB ), Astrophysics and Space Science vol. 126, no. 2, Oct. 1986, p. 357–408. ( ISSN 0004-640X ). Collected at the Smithsonian/NASA Astrophysical Data System.