塞迈雷迪－特罗特定理

先考虑仅经过至多两点的直线。该些直线产生的重合数至多为${\displaystyle 2m}$ 。于是现在仅需考虑余下的直线，而该些直线每条经过至少三点。

若一条直线上恰有${\displaystyle k}$ 个点，则该些点将直线截断成${\displaystyle k-1}$ 条线段（不计首尾仅得一端点的射线）。由于假设${\displaystyle k\geq 3}$ （已无须考虑仅经过至多两点的直线），有${\displaystyle k-1\geq k/2}$ ，即每条直线截成的线段数至少为其上点数之半。对所有直线求和，可知该些线段的总数${\displaystyle e}$ 亦至少为总重合数之半，从而只需证明

${\displaystyle e=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right).}$ 

以该${\displaystyle n}$ 点为顶点，并以该${\displaystyle e}$ 条线段为边建图。每条线段皆为${\displaystyle m}$ 条直线中某一条的部分，且每两条直线交于至多一点，故图的交叉数至多为${\displaystyle m(m-1)/2}$ 。再由交叉数不等式知，或者有${\displaystyle e\leq 7.5n}$ ，或者有${\displaystyle m(m-1)/2\geq e^{3}/33.75n^{2}}$ 。两者皆推出${\displaystyle e\leq 3.24(nm)^{2/3}+7.5n}$ ，从而得到上界

${\displaystyle e=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right).}$ 

因为过两点至多只有一条直线，且${\displaystyle k\geq 2}$ ，所以经过至少${\displaystyle k}$ 个点的直线至多只有${\displaystyle n(n-1)/2}$ 条。若${\displaystyle k}$ 很小（${\displaystyle k}$ 小于某个绝对常数${\displaystyle C}$ ），则此上界${\displaystyle n(n-1)/2}$ 已足以证明定理的第二形式。于是，以下仅需考虑${\displaystyle k}$ 较大的情况（${\displaystyle k\geq C}$ ）。

设经过至少${\displaystyle k}$ 个点的直线恰有${\displaystyle m}$ 条直线，则其上至少有${\displaystyle mk}$ 次重合，故由定理的第一形式，得

${\displaystyle mk=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right),}$ 

所以${\displaystyle mk=O(n^{2/3}m^{2/3})}$ 、${\displaystyle mk=O(n)}$ 、${\displaystyle mk=O(m)}$ 三式至少有一式成立。第三式不可能，因为已设${\displaystyle k}$ 为大，所以必有前两者之一。但经初等运算可知，前两者皆推出${\displaystyle m=O(n^{2}/k^{3}+n/k)}$ 。

若不考虑上界隐含的常数，则塞迈雷迪－特罗特定理的上界已是最优。使重合数达到上界的例子如下：对任意正整数${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ，考虑整数格点集

${\displaystyle P=\left\{(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}\ :\ 1\leq a\leq N;1\leq b\leq 2N^{2}\right\},}$ 

和一族直线

${\displaystyle L=\left\{(x,mx+b)\ :\ m,b\in \mathbb {Z} ;1\leq m\leq N;1\leq b\leq N^{2}\right\}.}$ 

于是，有${\displaystyle |P|=2N^{3}}$ 个点和${\displaystyle |L|=N^{3}}$ 条直线。由于每条直线都通过${\displaystyle N}$ 点（每个${\displaystyle x\in \{1,\cdots ,N\}}$ )对应一点），总重合数为${\displaystyle N^{4}}$ ，已达上界${\displaystyle O(N^{4}+N^{3}+N^{3})=O(N^{4})}$ 。^[7]

潘卡杰·阿加尔瓦尔（英语：Pankaj K. Agarwal）及鲍里斯·阿洛诺夫（英语：Boris Aronov）发现定理的高维推广：^[8]给定${\displaystyle d}$ 维空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ 的${\displaystyle n}$ 点（记其集合为${\displaystyle S}$ ）和${\displaystyle m}$ 个（${\displaystyle d-1}$ 维）超平面（记其集合为${\displaystyle H}$ ），则${\displaystyle S}$ 和${\displaystyle H}$ 之间的重合数有上界

${\displaystyle O\left(m^{\frac {2}{3}}n^{\frac {d}{3}}+n^{d-1}\right).}$ 

也可以等价写成：${\displaystyle H}$ 中通过至少${\displaystyle k}$ 个点的超平面数目至多为

${\displaystyle O\left({\frac {n^{d}}{k^{3}}}+{\frac {n^{d-1}}{k}}\right).}$ 

赫伯特·埃德斯布伦内（英语：Herbert Edelsbrunner）给出了渐近最优的构造，从而上述上界亦不能再改进。^[9]

绍利莫希·约瑟夫（英语：József Solymosi）和陶哲轩考虑点和高维代数簇的情况，并在其满足“某些拟直线（pseudo-line）类公设”的情况下，得到近乎最优的重合数上界。其证明运用到多项式火腿三文治定理（英语：Polynomial Ham Sandwich Theorem）。^[10]

实域${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的塞迈雷迪－特罗特定理有若干证明依赖欧几里得空间的拓扑，所以不能直接推广到其他域上，塞迈雷迪和特罗特的原证明、多项式分割法、交叉数法皆属此类，其不能适用于复域上的平面${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ 。

托特·乔鲍（Tóth Csaba）将塞迈雷迪和特罗特的原证明推广到${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ 。^[11]乔书亚·扎尔（Joshua Zahl）利用另一个方法，也独立地证明此结论。^[12]然而，其所得的上界的隐含常数与实域的情况有异：托特证明了该常数可取为${\displaystyle 10^{60}}$ ，而扎尔的证明并无给出具体的常数。

若限定点集为笛卡儿积，则绍利莫希·约瑟夫（英语：József Solymosi）和陶尔多什·加博尔（英语：Gábor Tardos）更简单地证明了塞迈雷迪－特罗特上界仍成立。^[13]

在一般域${\displaystyle \mathbb {F} }$ 上，塞迈雷迪－特罗特上界不一定成立。例如：取有限域${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 的二维平面上全部${\displaystyle p^{2}}$ 个点的集合${\displaystyle {\mathcal {P}}=\mathbb {F} _{p}\times \mathbb {F} _{p}}$ ，又取全部${\displaystyle p^{2}}$ 条直线的集合${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ，则每条直线经过${\displaystyle p}$ 个点，故有${\displaystyle p^{3}}$ 次重合。另一方面，塞迈雷迪－特罗特上界仅为${\displaystyle O\left((p^{2})^{2/3}(p^{2})^{2/3}+p^{2}\right)=O(p^{8/3})}$ 。此例子说明平凡上界${\displaystyle mn}$ 已为最优。

让·布尔甘、内茨·卡茨（英语：Nets Katz）、陶哲轩三人^[14]证明，除此例子外，平凡上界可以改进。

有限域上的重合数大致分为两类：

1. 点数与直线数有一者“远大于”域的特征；
2. 两者与域的特征相比皆“不太大”。

点集或直线集大的情况

设${\displaystyle q}$ 为奇质数幂。黎英荣（Lê Anh Vinh）^[15]证明，${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{2}}$ 上${\displaystyle n}$ 点与${\displaystyle m}$ 条直线的重合数至多为

${\displaystyle {\frac {nm}{q}}+{\sqrt {qnm}}.}$ 

且上式并无隐含常数。

点集及直线集皆不大的情况

设${\displaystyle \mathbb {F} }$ 为域，且其特征为${\displaystyle p\neq 2}$ 。苏菲·史蒂文斯（Sophie Stevens）和弗兰克·德齐乌（Frank de Zeeuw）^[16]证明，若${\displaystyle m^{-2}n^{13}\leq p^{15}}$ （${\displaystyle p=0}$ 时无需此条件），则${\displaystyle \mathbb {F} ^{2}}$ 上${\displaystyle n}$ 点和${\displaystyle m}$ 条直线的重合数至多为

${\displaystyle O\left(m^{\frac {11}{15}}n^{\frac {11}{15}}\right).}$ 

${\displaystyle m^{7/8}<n<m^{8/7}}$ 时，此上界比塞迈雷迪－特罗特上界更优。

若限定点集为笛卡儿积，则其证明以下更佳的上界：证${\displaystyle {\mathcal {P}}=A\times B\subseteq \mathbb {F} ^{2}}$ 为有限点集，其中${\displaystyle |A|\leq |B|}$ ，又设${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 为平面上有限条直线的集合。假设${\displaystyle |A||B|^{2}\leq |{\mathcal {L}}|^{3}}$ ，而若特征为正就再加上条件${\displaystyle |A||{\mathcal {L}}|\leq p^{2}}$ ，则${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 和${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 组成的重合数至多为

${\displaystyle O\left(|A|^{\frac {3}{4}}|B|^{\frac {1}{2}}|{\mathcal {L}}|^{\frac {3}{4}}+|{\mathcal {L}}|\right).}$ 

此上界为最优。由于平面有点线对偶（英语：Duality (projective geometry)），也可以将上述定理中，点和线的角色互换，得到对偶版本，适用于直线集为笛卡儿积、点集任意的情况。

米沙·鲁德涅夫（Misha Rudnev）和伊利亚·什克列多夫（Ilya D. Shkredov）研究了点集和直线集皆为笛卡儿积的情况（不论在实域或任意域），^[17]给出该情况下重合数的上界。此上界有时优于上列其他上界。