皮卡定理
定理的表述
小定理
皮卡小定理说明,如果复变函数 是整函数且不是常数,则 的值域或者是整个复平面,或者只去掉一个点。 这个定理在1879年证明。它强化了刘维尔定理:任何不是常数的整函数都一定是无界的。
皮卡的原始证明利用了模λ函数(Modular lambda function)。[1]证明概要如下:若 的值域不包含复平面上的两个点,不失一般性地,可以假设 的值域不包含0和1,设 是其值域中的点,在这个点附近,可以选取模函数 的逆的某个单值解析分支,记作 。利用模函数的通用覆盖性和单值性定理,可以将 点( )附近定义的复合映射 解析延拓到整个复平面上,从而得到一个在复平面上单值解析但有界的函数。根据刘维尔定理,该函数为常函数。因此 也是常函数。[2]
大定理
皮卡大定理说明,如果 在点 具有本性奇点,那么在任何含有 的开集中, 都将取得所有可能的复数值,最多只有一个例外。
这个定理强化了魏尔施特拉斯-卡索拉蒂定理,后者只保证了f的值域在复平面内是稠密的。
评论
- 这个“唯一的例外”实际上在两个定理中都是需要的:指数函数ez是一个整函数,永远不能是零。e1/z在0处具有本性奇点,但仍然不能取得零。
- 皮卡大定理在一个更一般的形式中也是正确的,可以应用于亚纯函数:如果M是一个黎曼曲面,w 是M上的一个点,P1C = C∪{∞}表示黎曼球面,f : M \ {w} → P1C是一个全纯函数,在w处具有本性奇点,那么在M的任何含有w的开子集中,函数f都可以取得除了两个点以外的所有P1C的点。
- 例如,亚纯函数f(z) = 1/(1 − exp(1/z))在z = 0处具有本性奇点,在0的任何邻域内都无穷多次取得值∞;但它无法取得0或1的值。
- 皮卡小定理可以从皮卡大定理推出,因为整函数要么是多项式,要么在无穷远处具有本性奇点。
注释
参考文献
- Conway, John B. Functions of One Complex Variable I 2nd. Springer. 1978. ISBN 0-387-90328-3.
- Shurman, Jerry. Sketch of Picard's Theorem (PDF). [2010-05-18]. (原始内容存档 (PDF)于2020-10-19).