完备化 (环论)

对于一个交换环 ${\displaystyle R}$  及其理想 ${\displaystyle I}$ （通常取为极大理想），可以借着取 ${\displaystyle I^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$  为零元的开邻域，赋予 ${\displaystyle R}$  相应的拓扑结构，使之成为对加法的拓扑群。这种拓扑称为 ${\displaystyle I}$ -进拓扑。

对于一个 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$ ，同样可考虑零元的开邻域 ${\displaystyle I^{n}M}$ ，由此得到 ${\displaystyle M}$  上的 ${\displaystyle I}$ -进拓扑。

模 ${\displaystyle M}$  对 ${\displaystyle I\subset R}$  的完备化定义为射影极限：

${\displaystyle {\hat {M}}:=\varprojlim _{n}M/I^{n}M}$ 

正如其名，${\displaystyle {\hat {M}}}$  对其 ${\displaystyle I}$ -进拓扑是完备的。对于固定的 ${\displaystyle I\subset R}$ ，${\displaystyle M\mapsto {\hat {M}}}$  是从 ${\displaystyle R}$ -模范畴（态射为模同态）到 ${\displaystyle I}$ -进拓扑 ${\displaystyle R}$ -模（态射为连续同态）的函子；透过自然同态 ${\displaystyle M\to {\hat {M}}}$ ，它是与之反向的遗忘函子的左伴随函子，因而是右正合的。

对于诺特环，${\displaystyle {\hat {R}}}$  是平坦的 ${\displaystyle R}$ -模。此时，对任何有限生成 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$ ，自然态射 ${\displaystyle {\hat {M}}\to M\otimes _{R}{\hat {R}}}$  是个同构。综上所述，对于诺特环 ${\displaystyle R}$ 上的有限生成 ${\displaystyle R}$ -模，完备化是个正合函子。

此外，完备化也可以用柯西序列构造，得到的对象是自然同构的。

• p进整数是 ${\displaystyle \mathbb{Z}}${\displaystyle \mathbb {Z} }   对 ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$  的完备化。
• 形式幂级数环 ${\displaystyle k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]}$  是多项式环 ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$  对 ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$  的完备化。

• David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6