近域

近域是一集合 ${\displaystyle Q}$ , ，任两个元素有两个二元运算，“+”（加号）和“·”（乘），满足下列公理：

A1: ${\displaystyle (Q,+)}$  是 阿贝尔群。

A2: ${\displaystyle (a}$ ·${\displaystyle b)}$ ·${\displaystyle c}$  = ${\displaystyle a}$ ·${\displaystyle (b}$ ·${\displaystyle c)}$  对所有元素 ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$  of ${\displaystyle Q}$  (乘法结合律)。

A3: ${\displaystyle (a+b)}$ ·${\displaystyle c=a}$ ·${\displaystyle c+b}$ ·${\displaystyle c}$  对所有元素 ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$  of ${\displaystyle Q}$  (乘法右分配律)。

A4: ${\displaystyle Q}$  含单位元1 ${\displaystyle 1}$ ·${\displaystyle a=a}$ ·${\displaystyle 1=a}$  对所有元素 ${\displaystyle a}$  of ${\displaystyle Q}$  (乘法单位元)。

A5:对所有元素a ${\displaystyle Q}$  存在元素 ${\displaystyle a}$  ⁻¹ such that ${\displaystyle a}$ ·${\displaystyle a}$  ⁻¹ = 1 = ${\displaystyle a}$  ⁻¹·${\displaystyle a}$  (非零元素都有乘法逆元)。

定义附注：

1. 上面定义严格说是一个右近域。将A3换为左分配律${\displaystyle c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b}$ ，就可得到左近域。通常“近域”是指“右近域”，但是这不是一个普遍定义。
2. 如果一个右近域也是右伪域（quasifield），则称之为“平面的”，所有有限近域皆为平面，但无限近域则未必。
3. 其实并不须要指定加群是阿贝尔群，因为这可从其他公理推出，但推导过程相当困难^[1][2][3]，将此结果做为公理可更快更方便的推导出近域的其它性质
4. 有的定义中A4和A5是由以下公理替换

   A4*：非零元素在乘法下形成群。

   但在此定义下，会有一个二阶结构不满足一些基本定理，如：对所有${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle x\cdot 0=0}$ 。所以最好用原始定义。A4及A4*的差别在于，A4是要求1是对所有元素是单位元，A4*只要求非零元素。可经由在2阶加群定义一个额外的乘法来形成此例外：对所有${\displaystyle x}$ 及${\displaystyle y}$ ，${\displaystyle x\cdot y=x}$ 。

1. 所有除环都是近域，所有域都是近域。
2. 下面定义一个九阶近域，它是最小的非域的近域：

   设 ${\displaystyle K}$  为九阶伽罗华域，其乘法运算为“${\displaystyle *}$ ”，现定义一个新乘法运算“·”：

• 如果${\displaystyle b}$ 是${\displaystyle K}$ 中任意元素的平方，${\displaystyle a}$ 是${\displaystyle K}$ 中任意元素，则：${\displaystyle a\cdot b=a*b}$ 。
• 如果${\displaystyle b}$ 不是一个元素平方，则：${\displaystyle a\cdot b=a^{3}*b}$ 。

那么域${\displaystyle K}$ 与原加法及新乘法构成一近域。^[4]

近域的概念由迪克森（Leonard Eugene Dickson）在1905年首次引入。他修改除环的乘法，加法不变，由此产生了第一个非除环的近域。由此法产生的近域被称为迪克森近域，上述的9阶例子即为一迪克森近域。 扎斯豪斯（Hans Zassenhaus）证明，除了七个例外，所有有限近域要么是域要么是迪克森近域。[2] 近域最早是应用在几何研究，如投影几何^[5][6]。许多投影几何可经由坐标系上的除环来定义，但有些不能。 马歇尔·豪尔（Marshall Hall）利用上述的9阶近域产生出一豪尔平面，同时也是利用阶数为质数平方的迪克森近域产生出的一系列平面的第一个。

近域尚有许多其它应用，大部分在几何方面^[7]。最近的应用在为密码学，如希尔密码^[8]。

• Nearfields （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Hauke Klein.