魏尔斯特拉斯椭圆函数

数学中,魏尔斯特拉斯椭圆函数(Weierstrass's elliptic functions)又称 p 函数并且以 符号表示,是格外简单的一类椭圆函数,也是雅可比椭圆函数的特殊形式。卡尔·魏尔斯特拉斯首先研究了这些函数。

Symbol for Weierstrass P function

魏尔斯特拉斯p函数的符号

定义

固定   中的格     上线性无关),对应的魏尔斯特拉斯椭圆函数定义是

 

显然右式只与格   相关,无关于基   之选取。  的元素也称作周期。

另一方面,格   在取适当的全纯同态   后可表成  ,其中   属于上半平面。对于这种形式的格,

 

反之,由此亦可导出对一般的格之公式

 

在数值计算方面,  可以由Θ函数快速地计算,方程是

 
  • 在周期格中的每个点,  有二阶极点
  •   是偶函数。
  • 复导函数   是奇函数。

加法定理

 

假设  ,上式有一个较对称的版本

 

此外

 

魏尔斯特拉斯椭圆函数满足复制公式:若   不是周期,则

 

微分方程与积分方程

定义  (依赖于  )为

 
 

求和符号   意谓取遍所有非零的  。当   时,它们可由艾森斯坦级数   表示。

则魏尔斯特拉斯椭圆函数满足微分方程

 

  给出了从复环面   映至三次复射影曲线   的全纯映射;可证明这是同构。

另一方面,将上式同除以  ,积分后可得

 

右侧是复平面上的路径积分,对不同的路径  ,其积分值仅差一个   的元素;所以左式应在复环面   中考虑。在此意义下,魏尔斯特拉斯椭圆函数是某类椭圆积分之逆。

模判别式

续用上节符号,模判别式   定义为下述函数

 

视为周期格的函数,这是权 12 之模形式。模判别式也可以用戴德金η函数表示。

文献