在数学中,魏尔斯特拉斯椭圆函数(Weierstrass's elliptic functions)又称 p 函数并且以 符号表示,是格外简单的一类椭圆函数,也是雅可比椭圆函数的特殊形式。卡尔·魏尔斯特拉斯首先研究了这些函数。
定义
固定 中的格 ( 在 上线性无关),对应的魏尔斯特拉斯椭圆函数定义是
- 。
显然右式只与格 相关,无关于基 之选取。 的元素也称作周期。
另一方面,格 在取适当的全纯同态 后可表成 ,其中 属于上半平面。对于这种形式的格,
- 。
反之,由此亦可导出对一般的格之公式
-
在数值计算方面, 可以由Θ函数快速地计算,方程是
-
- 在周期格中的每个点, 有二阶极点。
- 是偶函数。
- 复导函数 是奇函数。
加法定理
-
假设 ,上式有一个较对称的版本
-
此外
-
魏尔斯特拉斯椭圆函数满足复制公式:若 不是周期,则
-
微分方程与积分方程
定义 (依赖于 )为
-
-
求和符号 意谓取遍所有非零的 。当 时,它们可由艾森斯坦级数 表示。
则魏尔斯特拉斯椭圆函数满足微分方程
- 。
故 给出了从复环面 映至三次复射影曲线 的全纯映射;可证明这是同构。
另一方面,将上式同除以 ,积分后可得
- 。
右侧是复平面上的路径积分,对不同的路径 ,其积分值仅差一个 的元素;所以左式应在复环面 中考虑。在此意义下,魏尔斯特拉斯椭圆函数是某类椭圆积分之逆。
模判别式
续用上节符号,模判别式 定义为下述函数
-
视为周期格的函数,这是权 12 之模形式。模判别式也可以用戴德金η函数表示。
文献
- Stein. Complex Analysis.
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island 编辑