剩余有限群

数学群论中,一个G称为剩余有限群,如果对G中每个非单位元g,都有一个群同态hG到一个有限群,使得

剩余有限群有数个等价定义:

  • 对群中每个非单位元,有一个有限指数正规子群不包括该元素。
  • 群中所有有限指数的子群的交是平凡的。
  • 群中所有有限指数的正规子群的交是平凡的。
  • 这个群可以嵌入到一族有限群的直积中。

例子

剩余有限群的例子有:有限群自由群有限生成幂零群、 polycyclic-by-finite群,有限生成线性群3-流形基本群

剩余有限群的子群是剩余有限,剩余有限群的直积是剩余有限。任何剩余有限群的逆极限也是剩余有限。特别地,所有投射有限群都是剩余有限群。

投射有限拓扑

用下列方式能使任何群G成为一个拓扑群:取G中全部有限指数的正规子群,为G的单位元e的开邻域。如此得出的拓扑称为G的投射有限拓扑(profinite topology)。一个群G是剩余有限群,当且仅当G的投射有限拓扑是豪斯多夫的。

外部链接

  • Magnus, Wilhelm. Residually Finite Groups (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 1969, 75 (2): 305–316 [2013-08-26]. (原始内容存档 (PDF)于2017-08-14).