八次方程

八次方程^[1]是可以用下式表示的方程

八次函数的图，有8个实数根（穿过X轴）和7个临界点。一般来说，取决于局部极值的数量和垂直位置，实数根的数量可以是8,6,4,2或0。复数根的数量等于8减去实数根的数量。

ax^{8}+bx^{7}+cx^{6}+dx^{5}+ex^{4}+fx^{3}+gx^{2}+hx+k=0,\,

其中 $a \neq 0$ 。

而八次函数是可以用下式表示的函数：

$f(x)=ax^{8}+bx^{7}+cx^{6}+dx^{5}+ex^{4}+fx^{3}+gx^{2}+hx+k,$

换句话说，八次函数也就是阶数为8次的多项式，若a = 0，则多项式最多只为是七次函数。

若将令八次函数 $f (x) = 0$ ，即可得到八次方程。

八次方程的系数 $a, b, c, d, e, f, g, h, k$ 可以是整数、有理数、复数或是任何一种域的元素。

由于一个八次函数是由偶数多项式定义，当变元往正值或负值无穷时，它拥有一样的无穷的极限。如果首项系数a是正值，那么函数在两边增加到正无穷大；因此该函数具有全域极小值。同样地，如果a是负值，八次函数减少到负无穷大和具有全域极大值。八次函数的导数是七次函数。

八次方程求根

透过阿贝尔-鲁菲尼定理，就其参数而言没有一般的代数式能解八次方程。然而，一些八次方的子类(sub-classes)有这样的公式。

普通的，具有正值k的形式的八次方

$x^{8}=k$

具有解决方案

$x_{i}=k^{1/8}\omega _{i}\,,\quad i=1,\dots ,8,$

其中 $\omega _{i}$ 是在复平面中第i个1的8次方根。

可以通过因式分解或在变量 $x 4$ 中

$ax^{8}+ex^{4}+k=0$

应用二次方程来求解形式的八次方。

可以使用变量 $x 2$ 中的四次方程

$ax^{8}+cx^{6}+ex^{4}+gx^{2}+k=0$

来求解形式的八次方。

在某些情况下（如通过垂直线划分成四个相等面积的区域），一个三角形的垂直线的四分之一部分是一个八次方程的解。^[2]

^ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171 （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
^ http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201802.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆） Carl Eberhart, “Revisiting the quadrisection problem of Jacob Bernoulli”, Forum Geometricorum 18, 2018, pp. 7–16 (particularly pp. 14–15).