狄利克雷卷积

• 交换律${\displaystyle f*g=g*f}$ 
• 结合律${\displaystyle (f*g)*h=f*(g*h)}$ 
• 分配律${\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h=(g+h)*f}$ 
• 存在单位函数ε使得${\displaystyle f=f*\epsilon =\epsilon *f}$ 。ε(n)的值为1若n=1，否则ε(n)=0。
• 对于任意算术函数${\displaystyle f}$ ，若${\displaystyle f(1)}$ 不等于0，都有唯一的逆函数${\displaystyle f^{-1}}$ ，使得${\displaystyle f*f^{-1}=\epsilon }$ 。

${\displaystyle f^{-1}}$ 的值如下：

${\displaystyle f^{-1}(1)={\frac {1}{f(1)}}}$ 

对于${\displaystyle n>1}$ ，${\displaystyle f^{-1}(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{d|n,n\neq d}f({\frac {n}{d}})f^{-1}(d)}$ 

默比乌斯函数μ的逆函数为（一般意义上的）1，即对于${\displaystyle n\neq 1}$ ，${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)\times 1=0}$ 。这是默比乌斯反演公式的原理。

狄利克雷卷积得名于数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷。1857年约瑟夫·刘维尔曾发表了许多包含这个运算的恒等式。将它视为二元运算这个观点由埃里克·坦普尔·贝尔和M.奇波拉1915年提出。

若定义${\displaystyle f}$ 的“导数”${\displaystyle f'(n)=f(n)\log(n)}$ ，可以发现这个运算和连续实函数的导数有不少相似的地方：

• ${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$ 
• ${\displaystyle (f*g)'=f*g'+f'*g}$ 
• ${\displaystyle (f^{-1})'={\frac {-f'}{f*f}}}$ 

对于算术函数${\displaystyle f}$ ，定义其狄利克雷级数

${\displaystyle DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$ 

对于一些算术函数的狄利克雷级数，它们的积，跟那些算术函数的狄利克雷卷积的狄利克雷级数是相等的：

${\displaystyle DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,}$ 

这跟卷积定理很相似。

定义${\displaystyle f}$ 的贝尔级数

${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.}$ 

也有类似的关系：

• ${\displaystyle {(f*g)_{p}}(x)=f_{p}(x)\times g_{p}(x)}$ 

• Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol
• http://eom.springer.de/D/d130150.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）