等角图形

在几何学中，等角或称点可递是指所有顶角都相等的几何图形，更精确地说即该几何图形或形状的顶点在其对称性下皆为等价的，这意味着每个顶点都被相同的面以相同或相反的顺序包围，并且对应的面与面之交角拥有相同的角度。例如长方体是等角图形，所以长方体每个顶点都由3个矩形所包围，且矩形与矩形间的角度都是直角，并且此特性在长方体中的每个顶点上都是成立的。[1]

长方体是等角图形，这意味着长方体每个顶角的组成皆相同——三个矩形，且构成每个顶角的矩形两两之间夹角皆为直角（90度），所组成的多面角亦皆相等

等角又称为点可递代表其顶点在整个几何结构的对称性上是可以传递的。从技术上讲，这种几何结构的任何两个顶点皆存在一个基于整个几何结构之对称性的几何变换，能将这两个顶点从其中一个变换到另外一个。[2]以等角图形长方体为例，长方体是点可递图形，代表长方体上任两个顶点皆可以透过旋转和平移将一个顶点变换到与另一个顶点重和的位置，且对应的顶角占有相同的空间区域。其他的表述包括了多胞形的自同构群（英语：Automorphism group）作用在顶点上传递，或者说顶点位于同一个对称轨道内。[1][3]

等角这个术语长期以来一直用于多面体特性的描述。点可递作为等角的同义词较常用于对称群和图论的表述中。[4][5]

此外，所有顶角看起来皆相同并不一定意味着该几何结构为等角的几何结构。例如异相双四角台塔柱所有顶角看起来皆相同，但其并非等角立体。几何结构是否等角还会跟其群特性有关。[3]

等角多边形

 
 
等角无限边形
 
 
 
 
 
 
等角扭歪无限边形

所有正多边形、正无限边形、星形正多边形都是等角图形。所有等角图形的对偶图形（英语：Dual polygon）都是等边图形。[6]

一些具有2种边长交错排列的偶数边数的多边形或无限边形也是等角图形，例如矩形。[7]

所有平面的等角2n边形具有二面体群对称性，边的中点之垂线为对称轴。

D2 D3 D4 D7
 
等角矩形和交叉矩形共用相同的顶点排列 		 
等角六角星具有6个相同顶角和2组边长[8]		  
等角凸八边形。 红色线和蓝色线为对称轴。 		 
具有一种顶角和两组边长的等角星形十四边形[9]

等角多面体和等角平面镶嵌

等角镶嵌
 
形变的正方形镶嵌
 
形变的
截角正方形镶嵌

所有等角多面体和等角平面镶嵌都只有一种顶角。若一个等角多面体的所有面都是正多边形，则这个立体也是均匀多面体，且其顶点配置（英语：Vertex configuration）可以透过顶点周围之面的种类的排列顺序来表示。例如截半立方体皆由正多边形的面组成，因此它是均匀多面体，且每个顶角周围由三角形、正方形、三角形和正方形排列而成，顶点配置表示为3.4.3.4。均匀多面体的几何扭曲变化变体也可以由顶点配置来给定。[1]

等角多面体
D3d, 12阶 Th（英语：Pyritohedral symmetry）, 24阶 Oh（英语：Octahedral symmetry）, 48阶
4.4.6 3.4.4.4 4.6.8 3.8.8
 
形变的六角柱 		 
形变的小斜方截半立方体 		 
浅截角截半立方体 		 
超截角立方体

等角多面体和等角平面镶嵌可以分为以下几类：

  • 正多面体或正镶嵌图同时具备了等角（点可递）、等面（面可递）与等边（边可递）的特性[10]，这意味着每个面都是同一种正多边形。
  • 拟正多面体或拟正镶嵌图同时具备了等角（点可递）与等边（边可递）的特性，但不具备等面（面可递）的特性。[11][12]
  • 半正多面体或半正镶嵌图是等角图形（点可递），其所有的面都是正多边形，但不具备等面（面可递）或等边（边可递）的特性（定义因作者而异；例如有一些定义会排除具有二面体对称性立体或非凸多面体）。[13][14]
  • 所有面都是正多边形的均匀多面体或均匀镶嵌图，例如：正多面体、拟正多面体或半正多面体。[15]
  • 等面的半均匀多面体（Semi-uniform）。
  • 等面的稀有多面体。[16]

参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Richard Klitzing. Convex Isogonal Polytopes. Polytopes & their Incidence Matrices. [2022-05-24]. （原始内容存档于2022-09-29）. 
  2. ^ Vladimir L. Bulatov. Isogonal Kaleidoscopical Polyhedra. Mosaic2000, Millennial Open Symposium on the Arts and Interdisciplinary Computing. Seattle, WA: 21–24. August 2000 [2022-05-24]. （原始内容存档于2011-05-11）. 
  3. ^ 3.0 3.1 Grattan-Guiness, I. Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences: Volume Two. Taylor & Francis. 2004. ISBN 9781134888399. 
  4. ^ Barry A. Cipra. Mircea Pitici , 编. Lorenz System Offers Manifold Possibilities for Art. Princeton University Press. 2011-12-31: 115–149 [2022-05-24]. ISBN 9781400839544. doi:10.1515/9781400839544.115. （原始内容存档于2022-06-12）. 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Vertex-transitive graph. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  6. ^ Guy, R.K. and Woodrow, R.E. The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and Its History. Spectrum. Mathematical Association of America. 2020. ISBN 9781470457310. 
  7. ^ M Koca and N O Koca. Quasi Regular Polyhedra and Their Duals with Coxeter Symmetries Represented by Quaternions I. Journal of Physics: Conference Series (IOP Publishing). 2011-03, 284: 012039. doi:10.1088/1742-6596/284/1/012039. 
  8. ^ Coxeter, The Densities of the Regular Polytopes II, p54-55, "hexagram" vertex figure of h{5/2,5}.
  9. ^ Branko Grünbaum（英语：Branko Grünbaum）. The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History. Metamorphoses of polygons. 1994. ISBN 978-0883855164. , Figure 1. Parameter t=2.0
  10. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822 .
  11. ^ Weisstein, Eric W. (编). Quasiregular Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  12. ^ George W. Hart. Quasiregular polyhedra. [2022-06-09]. （原始内容存档于2013-05-24）. 
  13. ^ Weisstein, Eric W. (编). Semiregular Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  14. ^ George W. Hart. Archimedean Semi-regular Polyhedra. [2022-06-09]. （原始内容存档于2012-12-05）. 
  15. ^ Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.（英语：Michael S. Longuet-Higgins）; Miller, J. C. P.（英语：J. C. P. Miller）. Uniform polyhedra (PDF). Philosophical Transactions of the Royal Society A（英语：Philosophical Transactions of the Royal Society A）. 1954, 246 (916): 401–450 [2022-06-09]. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. doi:10.1098/rsta.1954.0003. （原始内容存档 (PDF)于2017-12-01）. 
  16. ^ George W. Hart. Polyhedra with Equal Faces and Equal Vertex Figures. Virtual Polyhedra, georgehart.com. 1996 [2021-10-15]. （原始内容存档于2020-02-24）.