半刻面立方体
在几何学中，半刻面立方体（英语：Hemi facetted cube）是一种非凸多面体，由立方体刻面而成[1]，换句话说即不更动立方体的顶点，将立方体的面替换为对角面构成，并补上适当的表面之面，使立体成为封闭的多面体[2]。由于半刻面立方体有部分的面几何中心落在整个立体的几何中心上，因此其又可以归类为半多面体[3]，也因此这个多面体的对偶多面体的顶点会落在无穷远处，即无穷实射影平面上的点[4]。特别地，这个多面体的五复合体的对偶多面体是一种星形二十面体，但由于其顶点落在无穷实射影平面而并未收录于《五十九种二十面体》中，因此被描述为“遗失的星形二十面体”[5][6]。
 （单击查看三维模型） | |||
| 类别 | 非凸多面体 | ||
|---|---|---|---|
| 性质 | |||
| 面 | 12 | ||
| 边 | 24 | ||
| 顶点 | 8 | ||
| 欧拉特征数 | F=12, E=24, V=8 （χ=-4） | ||
| 组成与布局 | |||
| 顶点图 | 星形六边形[1] | ||
| 对称性 | |||
| 对称群 | Oh, [4,3], (*432) | ||
| 图像 | |||
| |||
性质
半刻面立方体由12个面、24条边和8个顶点组成，其中6个面为立方体的对角面，6个面为立方体原始的面转为折四边形的结果。[1]
顶点坐标
由于半刻面立方体是立方体刻面后所形成的，因此其顶点坐标跟立方体相同，为[7]
- (±1, ±1, ±1)
的全排列。
面的组成
半刻面立方体由6个长方形面和6个折四边形面组成。其中6个长方形面来自原像立方体的对角面[1]：
这种形状的面正好沿着立方体的三个轴向排列，每个轴向各有2个这种面。而这种面构建完毕后立体尚未封闭，这时需要6个折四边形将其封闭。
特别地，折四边形封闭立方体有两种方式，因此这个立体存在手性镜像[2]。
对偶多面体
半刻面立方体有部分的面通过整个立体的几何中心，因此这个多面体之对偶多面体的顶点会落在无穷远处，即无穷实射影平面上[4]。温尼尔在其著作《对偶模型》以无限高的柱体组合来具象化这类立体[4][5]。半刻面立方体的对偶多面体可以视为由6个无限高的菱形柱体组合而成。一般而言，这些柱体应当只在单一方向上延伸至无穷远处，然而这样的结构无法在整体的几何对称性上保持一致，因此这个立体的无限高柱体需向两个方向无限延伸使其几何对称性在整体上维持一致。[2]
五复合半刻面立方体
| 五复合立方体，每个半刻面立方体以不同颜色表示 | |
| 类别 | 复合多面体 |
|---|---|
| 对偶多面体 | 五复合立方半无穷星形菱形六十面体 |
| 性质 | |
| 体 | 5 |
| 面 | 60 |
| 边 | 120 |
| 顶点 | 20 |
| 欧拉特征数 | F=60, E=120, V=20 （χ=-40） |
| 组成与布局 | |
| 复合几何体数量 | 5 |
| 复合几何体种类 | 五个半刻面立方体 |
| 面的种类 | 30个长方形 30个反平行四边形 |
| 对称性 | |
| 对称群 | 二十面体群 (Ih) |
五复合半刻面立方体是由半刻面立方体通过立方体合成五复合立方体的方式组成的几何结构。[5]其也可以视为是正十二面体的刻面多面体[8]。
构成方式
由半刻面立方体建构五复合半刻面立方体的方式，与由立方体构造成五复合立方体的方式一样。[5]即可透过将一个半刻面立方体以原点为中心、面向轴的第一个半刻面立方体开始构造，其余的半刻面立方体则透过轴 旋转 弧度来构造，并依这加入顺序决定角度值中的n，例如第二个半刻面立方体对应n=1、第三个半刻面立方体对应n=2，以此类推。[9]
与五复合立方体的关联
| 五复合半刻面立方体 |
五复合立方体 |
五复合半刻面立方体的旋转模型 |
五复合半刻面立方体的对偶多面体
| (点选检视3D模型) | ||||||||||||
| 类别 | 星形二十面体 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 对偶多面体 | 五复合半刻面立方体 | |||||||||||
| 性质 | ||||||||||||
| 体 | 5 | |||||||||||
| 面 | 20 | |||||||||||
| 边 | 120 | |||||||||||
| 顶点 | 60 | |||||||||||
| 欧拉特征数 | F=20, E=120, V=60 （χ=-40） | |||||||||||
| 组成与布局 | ||||||||||||
| 复合几何体数量 | 5 | |||||||||||
| 复合几何体种类 | 5个半刻面立方体的对偶多面体 | |||||||||||
| 面的种类 | (由无穷实射影平面上的点构成) | |||||||||||
| 对称性 | ||||||||||||
| 对称群 | 二十面体群 (Ih) | |||||||||||
| 图像 | ||||||||||||
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由于五复合半刻面立方体有部分面几何中心落在整个立体的几何中心上，因此其对偶多面体的顶点会落在无穷远处，即无穷实射影平面上的点[3][4]。为了具像化这种立体，温尼尔在著作《对偶模型》中将其描述为由无限高的柱体组合构成的立体[4][5]。特别地，这个多面体是一种星形多面体，但由于其顶点落在无穷实射影平面而并未收录于《五十九种二十面体》中，因此被描述为“遗失的星形二十面体”[5]。
| 五复合半刻面立方体的对偶多面体 |
完全星形二十面体 |
五复合半刻面立方体 |
五复合半刻面立方体（黄色）与五复合半刻面立方体的对偶多面体（蓝色）的复合体 |
- 作为星形多面体
五复合半刻面立方体的对偶多面体可以看作是一种正二十面体的星形多面体[5]，其在杜瓦记号中可以用hj2表示[5]。
| 星状图 | 星形 | 星状核 | 凸包 |
|---|---|---|---|
| 正二十面体 |
（不存在） |
相关多面体
其他由立方体的顶点构成，但边或面连结方式与立方体相异的立体有：
| 立方体 |
半刻面立方体 |
星形八面体 |
皮特里立方体 |
这个立体为帕雷托立体半刻面后而成，其他也由帕雷托立体半刻面而成的立体有：[1]
| 正四面体 |
立方体 |
正八面体 |
| (无“半刻面”的结果) | 半刻面立方体 |
半刻面八面体 |
皮特里立方体
| 以不同颜色表示每个面 | |
| 类别 | 皮特里对偶 正则地区图 |
|---|---|
| 对偶多面体 | {3,6}(2,2) |
| 数学表示法 | |
| 施莱夫利符号 | {4,3}π {6,3}(2,2)[11] {6,3}2,0[13] |
| 性质 | |
| 面 | 4 |
| 边 | 12 |
| 顶点 | 8 |
| 欧拉特征数 | F=4, E=12, V=8 （χ=0） |
| 二面角 | （不存在） |
| 对称性 | |
| 对称群 | Oh, [4,3], (*432) |
| 特性 | |
| 扭歪、正则 | |
皮特里立方体是立方体的皮特里对偶，可以透过将原有立方体上取皮特里多边形构成，换句话说，皮特里立方体为由立方体的皮特里多边形构成的立体[10]。由于立方体的皮特里多边形为扭歪六边形，因此无法确立其封闭范围，故无法计算其表面积和体积。
皮特里立方体是一个可定向且欧拉示性数为零的几何结构[11]。皮特里立方体共有4个面、12条边和8个顶点。其中面由4个扭歪六边形面组成，每个顶点都是3个扭歪六边形的公共顶点。[11]
| 立方体的皮特里多边形 |
构成皮特里立方体的扭歪六边形面 |
皮特里立方体与立方体互为皮特里对偶，也就是说，皮特里立方体的皮特里对偶为立方体，换句话说，即皮特里立方体的皮特里多边形为正方形[11][14]。皮特里立方体可以截半为八面半八面体[11][15]。
| 皮特里立方体 |
以正则地区图表示的皮特里立方体 |
皮特里立方体的对偶多面体以正则地区图表示[16] |
皮特里立方体的对偶多面体可以透过截半变换转变成八面半八面体[16]。
参见
- 立方体
参考文献
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Inchbald, Guy. Facetting diagrams. The Mathematical Gazette (Cambridge University Press). 2006, 90 (518): pp. 253–261. doi:10.1017/S0025557200179653.
- ^ 2.0 2.1 2.2 Inchbald, Guy. Tidy dodecahedra and icosahedra. Jms. 29 July 2004, 30: 30 [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-06-08）.
- ^ 3.0 3.1 Hart, George. Quasiregular Polyhedra. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. 1996 [6 May 2012]. （原始内容存档于2021-07-24）.
- ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371 (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)
- ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 Guy's polyhedra pages. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006-07-11 [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-13）. Index Number: 303, Precursor: BnGn, Du Val symbol: De2f2
- ^ G. Inchbald, In search of the lost icosahedra, Math. Gaz. 86 (July 2002) pp. 208-215.
- ^ Platonic Solids: Cube. dmccooey.com. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-07-24）.
- ^ Inchbald, G. Towards stellating the icosahedron and faceting the dodecahedron. Symmetry: Culture and Science. 2000, 11: 1––4 [2021-07-29]. （原始内容存档于2021-06-08）.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Cube 5-Compound. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ 10.0 10.1 Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647
- ^ 11.0 11.1 11.2 11.3 11.4 {6,3}(2,2). Regular Map database - map details. [2021-07-24].
- ^ Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 14 4th, Springer Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-09212-6
- ^ Coxeter 1980[12], 8.4 Maps of type {3,6} or {6,3} on a torus.
- ^ The cube. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. （原始内容存档于2020-02-01）.
- ^ octahemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-07-25）.
- ^ 16.0 16.1 {3,6}(2,2). Regular Map database - map details. [2021-07-24].