圆环坐标系

在三维空间里，一个点 P 的圆环坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$  最常见的定义是

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi }$  、

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi }$  、

${\displaystyle z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$  ；

其中，${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$  是直角坐标，${\displaystyle \sigma }$  坐标是 ${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$  的弧度，${\displaystyle \tau }$  坐标是点 P 离两个焦点的距离 ${\displaystyle d_{1}}$  与 ${\displaystyle d_{2}}$  的比例的自然对数：

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$  。

圆环坐标的值域为 ${\displaystyle -\pi <\sigma \leq \pi }$  ，${\displaystyle \tau \geq 0}$  ， ${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$  。

坐标曲面

每一个 ${\displaystyle \sigma }$ -坐标曲面都是包含了焦圆，而不同心的圆球面。圆球半径为

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$  。

正值 ${\displaystyle \sigma }$  的圆球面的圆心都在正 z-轴；而负值 ${\displaystyle \sigma }$  的圆球面的圆心则在负 z-轴。当绝对值 ${\displaystyle \left|\sigma \right|}$  增加时，圆球半径会减小，圆心会靠近原点。当圆心与原点同点时，${\displaystyle \left|\sigma \right|}$  达到最大值 ${\displaystyle \pi /2}$  。

每一个 ${\displaystyle \tau }$ -坐标曲面都是不相交的环面。每一个环面都包围着焦圆。环面半径为

${\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$  。

${\displaystyle \tau =0}$  曲线与 z-轴同轴。当 ${\displaystyle \tau }$  值增加时，圆球面的半径会减少，圆球心会靠近焦点。

逆变换

${\displaystyle \tau }$  是 ${\displaystyle d_{1}}$  与 ${\displaystyle d_{2}}$  的比例的自然对数：

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$  。

圆环坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$  可以用直角坐标 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$  来表达。方位角 ${\displaystyle \phi }$  的公式为

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$  。

点 P 与两个焦点之间的距离是

${\displaystyle d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}}$  、

${\displaystyle d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}}$  。

如图 3 ，${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$  是两条从点 P 到两个焦点的线段 ${\displaystyle {\overline {F_{1}P}}}$  与 ${\displaystyle {\overline {F_{2}P}}}$  的夹角。这夹角的弧度是 ${\displaystyle \sigma }$  。用余弦定理来计算：

${\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}}$  。

标度因子

圆环坐标 ${\displaystyle \sigma }$  与 ${\displaystyle \tau }$  的标度因子相等：

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$  。

方位角的标度因子为

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$  。

无穷小体积元素是

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}d\sigma d\tau d\phi }$  。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]}$  。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$  、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$  ，都可以用 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$  坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

圆环坐标有一个经典的应用，这是在解析像拉普拉斯方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里，圆环坐标允许分离变数法的使用。个典型的例题是，有一个圆环导体，请问其周围的电位与电场为什么？应用圆环坐标，我们可以精致地分析这例题。

由于托卡马克的圆环形状，圆环坐标时常用在托卡马克的核聚变理论研究。

• 国际热核聚变实验反应堆

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