极值长度

数学上,共形拟共形映射的理论中,一个曲线极值长度的一个共形不变量。确切来说,设 复平面中的开集,中的路径族,是一个共形映射。那么的极值长度等于 下的的极值长度。因此极值长度是研究共形映射的有用工具。

极值长度的定义

 复平面中的开集。设 是在 中的可求长曲线族。 博雷尔可测函数。对任意可求长曲线 ,设

 

表示  长度,其中 表示欧氏线元。(可能有 。)又设

 

 面积定义为

 

 极值长度定义为

 

其中最小上界是取自所有满足 的博雷尔可测函数 。若 包含了不可求长曲线,将 中可求长曲线的子集记为  ,则  定义为 

  

 中的两个集合在 中的极值距离,是在 中两个端点分别在这两个集合的曲线族的极值长度。

参考

  • Ahlfors, Lars V., Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw-Hill Book Co., 1973, MR 0357743