极值长度数学上,共形和拟共形映射的理论中,一个曲线族 Γ {\displaystyle \Gamma } 的极值长度是 Γ {\displaystyle \Gamma } 的一个共形不变量。确切来说,设 D {\displaystyle D} 是复平面中的开集, Γ {\displaystyle \Gamma } 是 D {\displaystyle D} 中的路径族, f : D → D ′ {\displaystyle f:D\to D'} 是一个共形映射。那么 Γ {\displaystyle \Gamma } 的极值长度等于 Γ {\displaystyle \Gamma } 在 f {\displaystyle f} 下的像的极值长度。因此极值长度是研究共形映射的有用工具。 极值长度的定义 设 D {\displaystyle D} 是复平面中的开集。设 Γ {\displaystyle \Gamma } 是在 D {\displaystyle D} 中的可求长曲线族。 ρ : D → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]} 是博雷尔可测函数。对任意可求长曲线 γ {\displaystyle \gamma } ,设 L ρ ( γ ) := ∫ γ ρ | d z | {\displaystyle L_{\rho }(\gamma ):=\int _{\gamma }\rho \,|dz|} 表示 γ {\displaystyle \gamma } 的 ρ {\displaystyle \rho } 长度,其中 | d z | {\displaystyle |dz|} 表示欧氏线元。(可能有 L ρ ( γ ) = ∞ {\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty } 。)又设 L ρ ( Γ ) := inf γ ∈ Γ L ρ ( γ ) . {\displaystyle L_{\rho }(\Gamma ):=\inf _{\gamma \in \Gamma }L_{\rho }(\gamma ).} ρ {\displaystyle \rho } 的面积定义为 A ( ρ ) := ∫ D ρ 2 d x d y , {\displaystyle A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,} 而 Γ {\displaystyle \Gamma } 的极值长度定义为 E L ( Γ ) := sup ρ L ρ ( Γ ) 2 A ( ρ ) , {\displaystyle EL(\Gamma ):=\sup _{\rho }{\frac {L_{\rho }(\Gamma )^{2}}{A(\rho )}}\,,} 其中最小上界是取自所有满足 0 < A ( ρ ) < ∞ {\displaystyle 0<A(\rho )<\infty } 的博雷尔可测函数 ρ : D → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]} 。若 Γ {\displaystyle \Gamma } 包含了不可求长曲线,将 Γ {\displaystyle \Gamma } 中可求长曲线的子集记为 Γ 0 {\displaystyle \Gamma _{0}} ,则 E L ( Γ ) {\displaystyle EL(\Gamma )} 定义为 E L ( Γ 0 ) {\displaystyle EL(\Gamma _{0})} 。 Γ {\displaystyle \Gamma } 的模是 1 / E L ( Γ ) {\displaystyle 1/EL(\Gamma )} 。 D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}} 中的两个集合在 D {\displaystyle D} 中的极值距离,是在 D {\displaystyle D} 中两个端点分别在这两个集合的曲线族的极值长度。 参考 Ahlfors, Lars V., Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw-Hill Book Co., 1973, MR 0357743