向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义,包括梯度、散度和旋度。
拉普拉斯算符表示为:
向量算子必须写在它们所运算的标量场或向量场的左侧,例如:
得到f的梯度,但是
是另一个向量算子,没有对任何量进行运算。
一个向量算子可对另一个向量算子进行运算,得到一个复合向量算子,例如上面的拉普拉斯算符。
三维空间中的标量函数与向量函数
标量函数
令 为空间位置 的多变数标量函数 ,例如:
-
表示了一个球面,这是一个标量场,其中每点的值等于该球半径的平方。
向量函数
令 为空间位置 的向量函数 ,它可以被拆成三个分量,写成以下的向量形式:
-
梯度与Nabla算子的定义
标量函数 在三维笛卡儿坐标系的各个座标轴上有以下变率:
-
因为是沿着座标轴的变率,所以可以写成分量形式:
-
其加总即为 的组合变率:
-
如同微分算子 被用来表示某函数的导数,例如 或 ,我们使用 来表示组合变率:
-
其中 为一向量函数。组合变率 称为 的导数(derivative), 则称为 的本原(primitive)。
本身是一个向量函数。在几何与物理上,它指向变化速率最大的那个方向,在这个意义上,它被称为 的梯度、或斜率。
Nabla算子的单独使用
我们可以把 当作一个函数,念为 ,记为 ,它接受一个标量函数,并传回一个向量函数。其运算式为:
- ,因此:
-
将 当作一个形式上的向量,则可以用向量的内积与叉积导出散度与旋度。
散度:Nabla算子与向量函数的内积
将 当作一个形式向量,与向量函数 做内积:
-
这里得到一个标量函数 ,称为 的散度。
我们也可以将 当作一个算子,念为 ,记为 ,它接受一个向量函数,但是传回一个标量函数:
-
旋度:Nabla算子与向量函数的叉积
将 当作一个形式向量,与向量函数 做叉积:
-
这里得到一个向量函数,称为 的旋度。
我们也可以将 当作一个算子,念为 ,记为 ,它接受一个向量函数,并传回一个向量函数:
-
拉普拉斯算子
对一个标量函数做梯度运算,可以得到一个向量函数,再对该向量函数做散度运算,又得回一个标量函数,称为梯度的散度:
-
这称为拉普拉斯算子,记为 或者 ,它接受一个标量函数,并传回一个标量函数。
参见
延伸阅读
- H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.