向量算子

向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义,包括梯度散度旋度

拉普拉斯算符表示为:

向量算子必须写在它们所运算的标量场向量场的左侧,例如:

得到f的梯度,但是

是另一个向量算子,没有对任何量进行运算。

一个向量算子可对另一个向量算子进行运算,得到一个复合向量算子,例如上面的拉普拉斯算符。

三维空间中的标量函数与向量函数

标量函数

  为空间位置  多变数标量函数英语Function_of_several_real_variables ,例如:

 

表示了一个球面,这是一个标量场,其中每点的值等于该球半径的平方。

向量函数

  为空间位置  向量函数英语Vector-valued_function ,它可以被拆成三个分量,写成以下的向量形式:

 

梯度与Nabla算子的定义

标量函数   在三维笛卡儿坐标系的各个座标轴上有以下变率:

 

因为是沿着座标轴的变率,所以可以写成分量形式:

 

其加总即为   的组合变率:

 

如同微分算子   被用来表示某函数的导数,例如   ,我们使用   来表示组合变率:

 

其中   为一向量函数。组合变率   称为   的导数(derivative),  则称为   的本原(primitive)。

  本身是一个向量函数。在几何与物理上,它指向变化速率最大的那个方向,在这个意义上,它被称为   的梯度、或斜率。

Nabla算子的单独使用

我们可以把   当作一个函数,念为  ,记为  ,它接受一个标量函数,并传回一个向量函数。其运算式为:

 ,因此:
 

  当作一个形式上的向量,则可以用向量内积叉积导出散度旋度

散度:Nabla算子与向量函数的内积

  当作一个形式向量,与向量函数   做内积:

 

这里得到一个标量函数  ,称为  散度

我们也可以将   当作一个算子,念为  ,记为  ,它接受一个向量函数,但是传回一个标量函数:

 

旋度:Nabla算子与向量函数的叉积

  当作一个形式向量,与向量函数   做叉积:

 

这里得到一个向量函数,称为  旋度

我们也可以将   当作一个算子,念为  ,记为  ,它接受一个向量函数,并传回一个向量函数:

 

拉普拉斯算子

对一个标量函数做梯度运算,可以得到一个向量函数,再对该向量函数做散度运算,又得回一个标量函数,称为梯度的散度:

 

这称为拉普拉斯算子,记为   或者  ,它接受一个标量函数,并传回一个标量函数。

参见

延伸阅读

  • H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.