自由布尔代数

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自由布尔代数的生成元可以代表独立命题。例如，我们可以考虑两个命题 "John 高" 和 "Mary 富"。这生成了有四个原子的自由布尔代数，它们就是

1. John 高且 Mary 富
2. John 高且 Mary 不富
3. John 不高且 Mary 富
4. John 不高且 Mary 不富

布尔代数的其他元素接着是这些原子的逻辑析取，比如 "John 高且 Mary 不富，或者 John 不高且 Mary 富"。除此之外还有一个元素 FALSE，它不是原子的析取(尽管它可以被认为是空析取；就是说没有原子的析取)。

这个例子产生了有 16 个元素的布尔代数；一般的说，对于有限的 n，有 n 个生成元的自由布尔代数有 2ⁿ 个原子，因此有 ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$  个元素。

对于无限多个生成元，情况是非常相似的，除了没有原子之外。布尔代数的所有元素都是有限多个生成命题的组合；两个这种元素被认为是相同的如果它们是逻辑等价的。

更加正式的使用范畴论的概念，在生成元集合 S 上自由布尔代数是一个有序对 (π,B)，这里有

1. π: S → B 是映射，
2. B 是布尔代数，

并且关于这个性质是通用的。这意味着对于任何布尔代数 B₁ 和映射 π₁: S → B₁，有一个唯一的同态 f: B → B₁ 使得

${\displaystyle \pi _{1}=f\circ \pi .}$ 

这个泛性质也可以公式化为叫做逗号范畴的初始性质。

“唯一”（在同构的意义下）是从这个泛性质立即得出的性质。注意映射 π 可以被证明是单射的。所以任何自由布尔代数 B 都这样的性质，有一个 B 的子集 S，叫做 B 的生成元集合，使得从 S 到布尔代数 B₁ 的任何映射唯一的扩展为从 B 到 B₁ 的同态。

有κ个生成元的自由布尔代数，这里的κ是有限或无限的基数，可以被实现为 {0,1}^κ的闭开的子集的搜集，给定乘积拓扑假定 {0,1} 有离散拓扑。对于每个α<κ，第α个生成元是其第α个坐标是 1 的 {0,1}^κ的所有元素的集合。特别是，有 ${\displaystyle \aleph _{0}}$  个生成元的自由布尔代数是康托尔空间的所有闭开子集的搜集。另人惊奇的，这个搜集是可数的。事实上，尽管有有限 n 个生成元的布尔代数，n 有势 ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ ，带有 ${\displaystyle \aleph _{0}}$  个生成元的自由布尔代数有势 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ 。

自由布尔代数的拓扑方式详情请参见Stone布尔代数表示定理。

• Paul Halmos and Steven Givant (1998) Logic as Algebra. Mathematical Association of America.
• Saunders Mac Lane (1999) Algebra, 3d. ed. American Mathematical Society. 编辑
  • 自由对象