限制 (数学)

数学上提及的映射的限制(英:restriction),指对于一个映射,不改变其对应关系而重新取其原定义域的子集为定义域的操作。同种概念可更一般地针对二元关系多元关系等进行定义。

在全体实数组成的集合 上定义的函数 不存在反函数。但若将其定义域限制到非负实数的集合,则该函数存在反函数,名为 算术平方根函数

由映射 到其定义域的子集 的限制所得的映射可记为

定义

  为从集合   到集合   的映射,即   的定义域为   。对于   的子集  映射    的限制(又称    的限制函数)即为[1]

   

通俗而言,   的限制可看作虽与原映射相同,但仅在   上被定义的映射。

若设映射   为在笛卡儿积   上的关系     的限制可以其图像表示:

   

例子

  1. 非单射函数    的限制即为单射  

  2. 阶乘函数为伽玛函数到自然数集   的限制。

性质

  • 映射   到其定义域   的限制  
  • 某限制函数到其定义域的子集的限制,与其原函数到该集合的限制相同。即若  ,则   成立。
  • 集合   上的恒等函数到子集   的限制为从   包含映射[2]
  • 连续函数的限制函数也是连续的[3][4]

应用

反函数

若某函数存在反函数,其映射必为单射。若映射   非单射,可以限制其定义域以定义其一部分的反函数。如:

   

因为  ,故非单射。但若将定义域限制到   时该映射为单射,此时有反函数

   

(若限制定义域至  ,输出   的负平方根的函数为反函数。)另外,若允许反函数为多値函数,则无需限制原函数的定义域。

粘接引理

点集拓扑学中的粘接引理联系了函数的连续性与限制函数的连续性。

粘接引理

设拓扑空间   的子集   同时为开或闭,且满足  ,设   为拓扑空间。若映射     的限制都连续,则   也是连续的。

基于此结论,粘接在拓扑空间中的开或闭集合上定义的两个连续函数,可以得到一个新的连续函数。

将函数的限制推广到其他物件的限制。

层论中,拓扑空间 的每个开集 ,有另一个范畴中的物件 与之对应,其中要求 满足某些性质。最重要的性质是,若一个开集包含另一个开集,则对应的两个物件之间有限制态射,即若 ,则有态射 ,且该些态射应仿照函数的限制,满足下列条件:

  1.  的每个开集 ,限制态射  上的恒等态射。
  2. 若有三个开集 ,则复合 
  3. (局部性)若 为某个开集 开覆盖,且 满足:对所有  ,则 
  4. (黏合) 若 为某个开集 的开覆盖,且对每个 ,给定截面 ,使得对任意两个 ,都有 在定义域重叠部分重合(即 ),则存在截面 使得对所有  

所谓拓扑空间 上的,就是该些物件 和态射 组成的整体 。若仅满足前两项条件,则称为预层

出处

  1. ^ Stoll,第5页
  2. ^ Halmos 1960
  3. ^ Munkres 2000
  4. ^ Conrad & Franzosa 2008

参考文献

  • Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. 1974. 
  • Halmos, Paul, Naive Set Theory, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960 
  • Munkres, James R, Topology 2, Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000 
  • Colin Conrad, Adams; David Franzosa, Robert, Introduction to topology: pure and applied, Pearson Prentice Hall, 2008