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在数学中,弗罗比尼乌斯内积是一种基于两个矩阵的二元运算,结果是一个数值。它常常被记为。这个运算是一个将矩阵视为向量的逐元素内积。参与运算的两个矩阵必须有相同的维度、行数和列数,但不局限于方阵。
定义
给定两个n×m维复矩阵 A和B:
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弗罗比尼乌斯内积定义为如下的矩阵元素求和
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其中上划线表示复数和复矩阵的共轭操作。若将定义详细写出,则有
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此计算与点积十分相似,所以是一个内积的范例。
性质
弗罗比尼乌斯内积是半双线性形式。给定复矩阵A, B, C, D, 以及复数a和b,我们有
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并且,交换复矩阵的次序所得到的是原来结果的共轭矩阵:
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对于相同的矩阵,有
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样例
实矩阵
给定实矩阵:
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则:
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复矩阵
给定复矩阵
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那么它们的共轭 (非转置) 矩阵为
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因此,
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但注意
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A、B与其本身的弗罗比尼乌斯内积分别为
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弗罗比尼乌斯范数
从弗罗比尼乌斯内积我们可以诱导出弗罗比尼乌斯范数
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参考资料
相关条目