在数学中,一个希尔伯特-施密特算子(英语:Hilbert–Schmidt operator)(得名于大卫·希尔伯特和埃哈德·施密特), 是希尔伯特空间H上的有界算子A,有有限的希尔伯特-施密特范数
- ,
其中是H上的范数,是H上的一组标准正交基,Tr是非负自伴算子的迹。[1][2]这里指标集不一定可数。这个定义不依赖于基底的选择,所以有
- ,
其中,为在p = 2时的Schatten范数。在欧几里得空间中,也被称为弗罗贝尼乌斯范数,得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。
两个希尔伯特-施密特算子的乘积有有限的迹类范数;因此,如果A和B是两个希尔伯特-施密特算子,希尔伯特-施密特内积可以如下定义
- 。
希尔伯特-施密特算子构成一个H上的有界算子的Banach代数的双边*理想。它们构成一个希尔伯特空间,可以证明自然等距同构到希尔伯特空间的张量积
- ,
其中H∗是H的对偶空间。
希尔伯特-施密特算子的集合在范数拓扑下是闭集,当且仅当H是有限维空间。
一类重要的例子是希尔伯特-施密特积分算子。
希尔伯特-施密特算子是二阶核型算子,因此是紧的。